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正交矩阵

矩阵的转置等于它的逆矩阵，这样的矩阵称之为正交矩阵
即： $Q^{T}Q=I$，
这样的矩阵列向量都是单位向量且两两正交。

旋转矩阵属于特殊的正交群，即SO(n)，这里n通常是3，所以SO(3)就是三维旋转矩阵的群。
行列式为1的正交矩阵构成SO(n)，而行列式为-1的正交矩阵则可能包含反射变换${}^2$。旋转不应该改变物体的手性，所以行列式必须是1。而 正交性保证了旋转时向量的长度和夹角不变${}^1$，所以旋转矩阵必须是正交的，行列式1。

注释1：首先，正交性为什么能保证不拉伸或压缩物体呢？可能是因为正交矩阵作用于向量时，保持向量的长度不变。比如，如果有一个向量v，经过正交矩阵Q变换后的长度应该是v的原始长度。
数学上：$||Qv|{|}^2=(Qv{)}^T(Qv)=v^T{Q}^{T}Qv=v^{T}v=||v|{|}^2$。所以长度确实不变。那夹角呢？
两个向量v和w的夹角由内积决定：

变换后的内积$(Qv)\cdot (Qw)=v^T{Q}^{T}Qw=v^{T}w$，所以内积不变，夹角也不变。所以正交性确实保证了旋转操作不会改变长度和夹角，也就是不拉伸或压缩。

注释2 ：之前在介绍旋转矩阵时讲过一个方法：“绕谁谁不变”，所以向量$[a,b{]}^T$ 绕x轴旋转之后变为$[a,-b{]}^T$,所以反射矩阵为$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$,行列式的值为-1

行列式

计算方法

性质

1. 矩阵是否可逆
   若det(A) ≠ 0，则矩阵 A 可逆（非奇异矩阵）。
   若det(A) = 0，则矩阵 A 不可逆（奇异矩阵）。

2. 线性变换的几何意义
   行列式的绝对值表示矩阵对应线性变换对空间的体积缩放比例：
   二维矩阵：行列式是面积缩放因子。
   三维矩阵：行列式是体积缩放因子。例如，若 det(A) = 2, 则线性变换将原空间的体积放大2倍。

3. 方向是否改变
   行列式的符号反映线性变换是否改变空间的方向：
   det(A) > 0 : 保持空间方向（如纯旋转）。
   det(A) < 0 : 反转空间方向（如镜像反射）。

4. 矩阵的正交性与旋转
   正交矩阵（列向量为单位正交向量）的行列式值为 ±1.
   det(A) = 1: 对应旋转变换（如 SO(n) 群）。
   det(A) = -1: ：包含反射变换（改变手性）。

5. 特征值的乘积
   行列式等于矩阵所有特征值的乘积：
   det(A) = ${\lambda }_1\ast {\lambda }_2\ast {\lambda }_3\ast {\lambda }_4\ast {\lambda }_5...$

李群与李代数

李群

李群是同时具有光滑流形结构和群结构的数学对象，群操作（乘法与取逆）是光滑的。例如：
SO(3)：三维旋转矩阵群，元素是3×3正交矩阵，行列式为1。
SE(3)：三维刚体变换群（旋转+平移），元素是4×4齐次变换矩阵。

光滑流形结构（Smooth Manifold Structure）：流形是可以局部看作点组成的空间。而“光滑”意味着这个空间是处处平滑的，没有尖角或断点。也就是说，在流形上的每一点周围都可以找到一个局部，使得这部分在数学上可以和一个欧氏空间（例如平面在二维，或者三维空间）完全一致，而且这些局部映射是光滑的（平滑无突变）。简单来说，光滑流形就是一个处处可以进行微分运算的空间。

群结构（Group Structure）：群是集合上定义了一种满足特定条件的二元运算（通常称为“乘法”，但不是字面意义上的乘法）的代数结构。这些条件包括：

1. 封闭性：对于任意的群内元素 a 和 b，它们的运算结果 a * b 也必定属于这个群。
2. 结合律：对于任意的群内元素 a, b, 和 c，恒有$(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$。
3. 运算封闭性下，群总包含一个单位元e，使得对于群内任意元素 a，恒有 $a\ast e=e\ast a=a$。
4. 对于群内任意元素 a，都存在一个逆元 $a^{-1}$，使得 $a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e$。 简单来说，群结构是以一个集合和满足特定性质的运算为基础的代数结构。

群操作（Group Operation）：在上面群结构的定义中，我们使用了“运算”这个词，指的是群内元素之间可以进行的某种操作。这种操作一般被称为群操作，它必须满足上面定义的群结构所要求的那几个条件（封闭性、结合律、包含单位元和逆元）。最直观的理解就是，给定群中的任意两个元素，它们经过群操作后得到的结果仍然是这个群的一个合法元素，而且这个操作需满足一系列的代数性质。

李代数（Lie Algebra）

李代数是与李群对应的向量空间，附加一个李括号运算（非交换的二元运算）。它描述了李群在单位元处的切空间，可以看作李群的局部线性近似。例如：
so(3)：对应SO(3)的李代数，由3×3反对称矩阵组成（形式为${\omega }_{\times }$，其中 ${\omega \in \mathbb{R}}^3$)
se(3)：对应SE(3)的李代数，包含平移和旋转分量，形式为 $[\rho ,\omega {]}^{\top }\in {\mathbb{R}}^6$

李括号运算：
李括号运算（Lie bracket operation）是定义在李代数上的一个特定类型的二元运算，它反映了李代数与相关的李群之间的微分结构。具体来说，李括号运算是一个从李代数的两个元素到李代数的映射，记作 ([X, Y])，其中 (X) 和 (Y) 是李代数中的元素。
李括号运算有以下几个重要性质：

• 双线性：对任意的元素 (X, Y, Z) 和标量 (a, b) （来自相关的标量域），有 [ [aX + bY, Z] = a[X, Z] + b[Y, Z] ] 和 [ [X, aY + bZ] = a[X, Y] + b[X, Z]. ]
• 交错(反对称)性：对于任意的 (X)，有 [ [X, X] = 0. ] 进一步推论出 ([X, Y] = -[Y, X])。
• 雅可比恒等式：对于任意的 (X, Y, Z), 有 [ [[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = 0 ]

李括号运算并不总是可交换的，也就是说，通常情况下$([X,Y]\ne [Y,X])$。具体到李代数与李群之间的关系，李代数可以被看作李群在单位元（即李群的恒等元素）的切空间，李括号反映了李群上流形局部的非交换性，即群操作在局部上的非交换性质。将李群上的局部微分结构（通过切空间）转化为代数结构上的运算，李括号就是非常关键的形式化工具。

例如，在一般的线性李代数 $(\mathfrak{gl}(n))$ 中，李括号运算是由矩阵的换位子定义的，即对于两个 $[nn]$ 矩阵 (A) 和 (B)，定义李括号为：$[A,B]=AB-BA$其中 (AB)被理解为矩阵乘法。这个交换子运算满足上述李括号的所有性质，并且可以明确表示两个算子在操作上的非交换性。

李群与李代数的相互转换

李群与李代数通过**指数映射（Exponential Map）和对数映射（Logarithmic Map）**相互转换：

指数映射：李代数 → 李群

• $a_{\times }$ 是旋转轴单位向量 a 的反对称矩阵，θ 是旋转角度
  
  
  

对比一下之前多维矩阵旋转的罗德里格斯公式：

我们发现：矩阵形式的罗德里格斯公式在系数上进行了归一化处理，以适应矩阵指数的形式

优化中的应用

无约束优化：在李代数空间中，旋转表示为3维向量 ${\omega \in \mathbb{R}}^3$ ，无需正交性或行列式约束，可直接用梯度下降等算法优化。

更新步骤：每次优化迭代后，通过指数映射将李代数增量转换为李群（旋转矩阵），确保结果始终满足约束。

ps:暂停笔记，数学不好，脑容量有限