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博客长期更新，本文最新更新时间为：2025年6月15日。

一、算法原理

1、原理概述

  三维凸包是计算几何中的核心概念，指包含给定点集的最小凸多面体。它在计算机图形学、机器人导航、GIS分析等领域有广泛应用，如轮廓提取、地物分类和体积计算。下面我将逐步介绍三维凸包的核心计算方法、算法原理和实现细节，确保内容结构清晰且参考可靠信息。

2、核心计算方法

  三维凸包的计算方法主要基于凸多面体的几何性质，常见算法包括卷包裹法（Gift-wrapping）和增量法（Incremental method）。这些方法的时间复杂度通常为 $O(n\log n)$ 或 $O(n^2)$，其中 $n$ 是点集的大小。

• 卷包裹法（Gift-wrapping）：
  这是一种直观的算法，类似于二维凸包的Jarvis march。它从初始边开始，逐步“包裹”点集形成凸包面。关键步骤包括：

  • 起始边选择：通常投影点集到二维平面（如 $z=0$），找到y坐标最小的点作为起点，并选择到该点极角最小的点作为第二个点。这避免了直接投影计算，提高了效率。
  • 迭代构建：从起始边出发，计算每个面的法向量，找到下一个点使所有点位于法向量的同一侧。数学上，一个点 ${\mathbf{p}}_i$ 在凸包上需满足：
    $$({\mathbf{p}}_j-{\mathbf{p}}_i)\cdot \mathbf{n}\ge 0\forall j$$
    其中 $\mathbf{n}$ 是当前面的法向量。
    卷包裹法实现简单，但效率较低，适合小型点集。

• 增量法（Incremental method）：
  这是一种高效算法，通过逐步添加点并更新凸包。核心思想是：

  • 初始凸包：构造一个简单凸包（如四面体），确保所有点在其内部或表面。
  • 增量更新：逐个添加点，如果新点在当前凸包外，则删除被“可见”的面，并添加新面。引用的代码框架展示了这一过程：

3、应用场景与性能

三维凸包广泛应用于：

• 轮廓提取：从点云中识别物体边界。

• 体积/面积计算：如地物占地面积（二维投影凸包）或树木冠层体积（三维凸包）。

• 分类识别：凸包特征用于机器学习的输入。
  性能方面，卷包裹法最坏复杂度为 $O(n^2)$，增量法可优化到 $O(n\log n)$。实际中，PCL等库利用并行计算加速。

• 输入点集要求：点应无重复，且数量 $n\ge 4$ 以确保三维凸包有效。

• 边界情况：处理共面点或退化凸包时，需添加容错机制。

二、代码实现

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <vector>// PCL头文件
#include <pcl/io/pcd_io.h>
#include <pcl/point_cloud.h>
#include <pcl/point_types.h>#include <CGAL/Exact_predicates_inexact_constructions_kernel.h>
#include <CGAL/Polyhedron_3.h>
#include <CGAL/convex_hull_3.h>typedef CGAL::Exact_predicates_inexact_constructions_kernel K;
typedef CGAL::Polyhedron_3<K> Polyhedron;
typedef K::Point_3 Point_3;// 1. 从PCL点云转换到CGAL点云
std::vector<Point_3> pcl_to_cgal_points(pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>::Ptr cloud)
{std::vector<Point_3> points;points.reserve(cloud->size());for (const auto& p : *cloud){points.emplace_back(p.x, p.y, p.z);}return points;
}int main() 
{// 1. 读取点云数据pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>::Ptr cloud(new pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>);pcl::io::loadPCDFile("Cylinder.pcd", *cloud);// 2. 转换为CGAL点云std::vector<Point_3> points = pcl_to_cgal_points(cloud);// 3. 计算三维凸包Polyhedron poly;CGAL::convex_hull_3(points.begin(), points.end(), poly);// 4. 指定输出文件路径const std::string output_path = "convex_hull_vertices.txt";std::ofstream output_file(output_path);if (!output_file.is_open()) {std::cerr << "错误：无法创建输出文件 " << output_path << std::endl;return 1;}// 5. 提取顶点并写入TXT文件for (auto vit = poly.vertices_begin(); vit != poly.vertices_end(); ++vit) {const Point_3& p = vit->point();// 保存为空格分隔的坐标值output_file << p.x() << " " << p.y() << " " << p.z() << "\n";}output_file.close();std::cout << "凸包顶点已保存至: " << output_path<< "\n顶点数量: " << std::distance(poly.vertices_begin(), poly.vertices_end())<< std::endl;return 0;
}

三、结果展示

白色为凸包顶点