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静态二值贝叶斯滤波

静态二值贝叶斯滤波（Static Binary Bayes Filter）是一种用于处理二值状态（例如，目标存在或不存在）的简单贝叶斯滤波器。这种滤波器通常应用于目标检测、传感器融合等场景，其中状态空间是离散且只有两个可能的状态。

基本概念

• 状态：二值状态 ( $x$ ) 可以是 0 或 1，表示目标不存在或存在。
• 观测：观测 ( $z$ ) 也可以是 0 或 1，表示没有检测到目标或检测到目标。
• 先验概率：目标存在的先验概率 ( $P(x=1)$ ) 和目标不存在的先验概率 ( $P(x=0)$ )。
• 似然概率：在给定状态 ( $x$) 的情况下，观测 ( $z$ ) 的概率 ( $P(z|x)$ )。
• 后验概率：在给定观测 ( $z$ ) 的情况下，状态 ( $x$ ) 的概率 ( $P(x|z)$ )。

数学描述

假设我们有一个二值状态 ( x ∈ { 0 , 1 } x \in \{0, 1\} x∈{0,1} )，以及一个二值观测 ( z ∈ { 0 , 1 } z \in \{0, 1\} z∈{0,1} )。

1. 先验概率

定义目标存在的先验概率 ( $P(x=1)$ ) 和目标不存在的先验概率 ( $P(x=0)$ )：
$$\begin{gathered} P(x=1)=p_1 \\ P(x=0)=p_0=1-p_1 \end{gathered}$$

2. 似然概率

定义在给定状态 ( $x$ ) 的情况下，观测 ( z ) 的概率 ( $P(z|x)$ )：
$$\begin{gathered} P(z=1|x=1)=p_{11} \\ P(z=0|x=1)=p_{10}=1-p_{11} \\ P(z=1|x=0)=p_{01} \\ P(z=0|x=0)=p_{00}=1-p_{01} \end{gathered}$$

3. 后验概率

根据贝叶斯定理，计算在给定观测 ( $z$ ) 的情况下，状态 ( $x$ ) 的后验概率 ( $P(x|z)$ )：
$$\begin{gathered} P(x=1|z)=\frac{P(z|x=1)\cdot P(x=1)}{P(z)} \\ P(x=0|z)=\frac{P(z|x=0)\cdot P(x=0)}{P(z)} \end{gathered}$$
其中，( $P(z) $) 是归一化常数，可以通过全概率公式计算：
$$P(z)=P(z|x=1)\cdot P(x=1)+P(z|x=0)\cdot P(x=0)$$

示例代码

下面是一个简单的 C 语言实现示例，展示如何使用静态二值贝叶斯滤波进行状态估计。假设我们有一个简单的系统，状态和观测都是二值的。

#include <stdio.h>// 定义状态和观测的概率
double prior_prob_x1 = 0.5; // 目标存在的先验概率 P(x = 1)
double prior_prob_x0 = 0.5;
double likelihood_z1_given_x1 = 0.7; // P(z = 1 | x = 1)
double likelihood_z0_given_x1 = 0.3; // P(z = 0 | x = 1)
double likelihood_z1_given_x0 = 0.1; // P(z = 1 | x = 0)
double likelihood_z0_given_x0 = 0.9; // P(z = 0 | x = 0)// 计算归一化常数 P(z)
double calculate_normalization_constant(int z) {if (z == 1) {return (likelihood_z1_given_x1 * prior_prob_x1) + (likelihood_z1_given_x0 * (1 - prior_prob_x1));}else {return (likelihood_z0_given_x1 * prior_prob_x1) + (likelihood_z0_given_x0 * (1 - prior_prob_x1));}
}double _calculate_normalization_constant_(int z) {if (z == 1) {return (likelihood_z1_given_x0 * prior_prob_x0) + (likelihood_z1_given_x1 * (1 - prior_prob_x0));}else {return (likelihood_z0_given_x0 * prior_prob_x0) + (likelihood_z0_given_x1 * (1 - prior_prob_x0));}
}// 计算后验概率 P(x | z)
void update_belief(int z, double* posterior_prob_x1) {double normalization_constant = calculate_normalization_constant(z);if (z == 1) {*posterior_prob_x1 = (likelihood_z1_given_x1 * prior_prob_x1) / normalization_constant;}else {*posterior_prob_x1 = (likelihood_z0_given_x1 * prior_prob_x1) / normalization_constant;}
}void _update_belief_(int z, double* posterior_prob_x0) {double normalization_constant = _calculate_normalization_constant_(z);if (z == 1) {*posterior_prob_x0 = (likelihood_z1_given_x0 * prior_prob_x0) / normalization_constant;}else {*posterior_prob_x0 = (likelihood_z0_given_x0 * prior_prob_x0) / normalization_constant;}
}int main() {double posterior_prob_x1;double posterior_prob_x0;// 初始先验概率printf("Initial Prior Probability: P(x = 1) = %.4f\n", prior_prob_x1);printf("Initial Prior Probability: P(x = 0) = %.4f\n", prior_prob_x0);// 第一次观测int observation = 1; // 假设观测到的是 1printf("Observation: %d\n", observation);update_belief(observation, &posterior_prob_x1);printf("Posterior Probability after Observation: P(x = 1 | z = %d) = %.4f\n", observation, posterior_prob_x1);_update_belief_(observation, &posterior_prob_x0);printf("Posterior Probability after Observation: P(x = 0 | z = %d) = %.4f\n", observation, posterior_prob_x0);// 更新先验概率为上一次的后验概率prior_prob_x1 = posterior_prob_x1;prior_prob_x0 = posterior_prob_x0;// 第二次观测observation = 0; // 假设观测到的是 0printf("Observation: %d\n", observation);update_belief(observation, &posterior_prob_x1);printf("Posterior Probability after Observation: P(x = 1 | z = %d) = %.4f\n", observation, posterior_prob_x1);_update_belief_(observation, &posterior_prob_x0);printf("Posterior Probability after Observation: P(x = 0 | z = %d) = %.4f\n", observation, posterior_prob_x0);// 更新先验概率为上一次的后验概率prior_prob_x1 = posterior_prob_x1;prior_prob_x0 = posterior_prob_x0;// 第三次观测observation = 0; // 假设观测到的是 0printf("Observation: %d\n", observation);update_belief(observation, &posterior_prob_x1);printf("Posterior Probability after Observation: P(x = 1 | z = %d) = %.4f\n", observation, posterior_prob_x1);_update_belief_(observation, &posterior_prob_x0);printf("Posterior Probability after Observation: P(x = 0 | z = %d) = %.4f\n", observation, posterior_prob_x0);return 0;
}

详细步骤解释

1. 定义概率：

   • 定义目标存在的先验概率 prior_prob_x1。
   • 定义似然概率 likelihood_z1_given_x1、likelihood_z0_given_x1、likelihood_z1_given_x0 和 likelihood_z0_given_x0。

2. 计算归一化常数：

   • calculate_normalization_constant 函数根据观测 ( $z$ ) 计算归一化常数 ( $P(z)$ )。

3. 更新后验概率：

   • update_belief 函数根据贝叶斯定理计算后验概率 ( $P(x | z) $)。
   • 根据观测 ( $z$ ) 更新后验概率 posterior_prob_x1。

4. 打印结果：

   • 打印初始先验概率。
   • 进行多次观测，并打印每次观测后的后验概率。

通过这些步骤，你可以实现一个简单的静态二值贝叶斯滤波器，并根据观测数据不断更新状态估计。这个示例展示了基本的原理，实际应用中可能需要更复杂的模型和更多的优化。