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news 2025/8/9 9:04:04

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定理1 (量子纠错的条件) C是一组量子编码，P是映射到C上的投影算子。假设 $\varepsilon$ 是一个算子元素 ${E_{i}}$ 描述的量子操作，那么基于量子编码C，存在一个能对抗 $\varepsilon$ 描述的噪声的纠错操作R的充要条件是

$PE_{i}^{+}E_{j}P=\alpha _{ij}P$

对某个复元素厄米矩阵 $\alpha$ 成立。

将算子元素 ${E_{i}}$ 称为 $\varepsilon$ 导致的错误。如果这样的 $R$ 存在，即 ${E_{i}}$ 构成一组可纠正的错误。

shor’s code

小结：

量子纠错码：一个[n,k,d]量子纠错码用n个物理量子比特编码k个逻辑量子比特，并且举例为d。

量子纠错条件：C为一个量子纠错码，P是映射到C上的投影算子。该纠错码能纠正错误集 ${E_{i}}$ 当且仅当

$PE_{i}^{+}E_{j}P=\alpha _{ij}P$

对某个复数构成厄米矩阵 $\alpha$ 成立。

稳定子编码：令S是稳定子编码C(S)的稳定子， $E_{j }$ 是一组噪声，它是泡利群元素，而且对所有的j和k有 $E^{+}_{j}E_{k}$ 不属于N(S)-S成立。那么对C(S)来说， $E_{j }$ 是一组可纠噪声

容错量子计算：编码量子态上的一组通用逻辑操作，可按照下面的要求来，即如果所有的逻辑门的错误概率是p，编码数据中等效错误概率将是O(p^2)量级。

阈值定理：假设单个量子门上的噪声低于某个常数阈值，并且满足物理上合理的假设，则可以可靠的实现任意长的量子计算，并且为了保证可靠性，多出的代价跟电路的规模比起来很小。

参考

1.[量子计算]量子纠错码:shor's code_哔哩哔哩_bilibili

2.（美）Michael ANielsen（迈克尔A.尼尔森），Isaac L.Chuang（艾萨克 L.庄）. 量子计算与量子信息 10周年版[M]. 北京：电子工业出版社, 2022.02.

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