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随机过程的基本概念

随机过程的分布律和数字特征

定义3：设 X T = { X ( t ) , t ∈ T } X_T=\{X(t),t \in T\} XT​={X(t),t∈T}是随机过程，如果对任意$t\in T$，$EX(t)$存在，则称函数
$m_X(t)=EX(t)$
为$X_T$的均值函数
若对任意的$t\in T$，$E(X(t){)}^2$存在，则称$X_T$为二阶矩过程，而称
B X ( s , t ) = E [ { X ( s ) − m X ( s ) } { X ( t ) − m X ( t ) } ] , s , t ∈ T B_X(s,t)=E[\{X(s)-m_X(s)\}\{X(t)-m_X(t)\}], s,t \in T BX​(s,t)=E[{X(s)−mX​(s)}{X(t)−mX​(t)}],s,t∈T
为$X_T$的协方差函数。
D X ( s , t ) = B X ( t , t ) = E [ { X ( t ) − m X ( t ) } 2 ] , s , t ∈ T D_X(s,t)=B_X(t,t)=E[\{X(t)-m_X(t)\}^2], s,t \in T DX​(s,t)=BX​(t,t)=E[{X(t)−mX​(t)}2],s,t∈T
为$X_T$的方差函数。
$R_X(s,t)=E[X(t)X(s)]$
为$X_T$的相关函数。

复随机过程

几种重要的随机过程

正交增量过程

定义6：设 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}是零均值的二阶矩过程，若对任意的$t_1<t_2\le t_3<t_4\in T$，有
$E[(X(t_2)-X(t_1))(\overline{X(t_4)-X(t_3)})]=0$
则称X(t)为正交增量过程。

独立增量过程

定义7：设 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}是随机过程，若对任意的正整数n和$t_1<t_2<t_3<...<t_{n-1}<t_n\in T$，随机变量$X(t_2)-X(t_1),X(t_3)-X(t_2),...,X(t_n)-X(t_{n-1})$是相互独立的，称 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}是独立增量过程，又称可加过程。

平稳独立增量过程

定义8：设 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}是独立增量过程，若对$s<t$，随机变量$X(t)-X(s)$的分布仅依赖于$t-s$，则称 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}是平稳独立增量过程。

例子：考虑液体表面物质的运动。设X(t)表示悬浮在液面上的微粒位置的横坐标，则 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}是随机过程。由于微粒的运动是大量分子的随机碰撞引起的，因此， { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}是平稳独立增量过程。

马尔可夫过程

定义9：设 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}为随机过程，若对任意正整数n和$t_1<t_2<...t_n\in T$，$P(X(t_1)=x_1,X(t_2)=x_2,...,X(t_n)=x_n)>0$，其条件分布满足：
P { X ( t n ) ≤ x n ∣ X ( t 1 ) = x 1 , X ( t 2 ) = x 2 , . . . X ( t n − 1 ) = x n − 1 } P\{X(t_n) \leq x_n | X(t_1)=x_1,X(t_2)=x_2,...X(t_{n-1})=x_{n-1}\} P{X(tn​)≤xn​∣X(t1​)=x1​,X(t2​)=x2​,...X(tn−1​)=xn−1​}
= P { X ( t n ) ≤ x n ∣ X ( t n − 1 ) = x n − 1 } =P\{X(t_n) \leq x_n | X(t_{n-1})=x_{n-1}\} =P{X(tn​)≤xn​∣X(tn−1​)=xn−1​}
则称 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}为马尔可夫过程。

正态过程和维纳过程

定义10：设 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}是随机过程，若对任意正整数n和$t_1<t_2<...t_n\in T$，$(X(t_1),X(t_2),...,X(t_n))$是n维正态随机变量，则称 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}是正态过程或高斯过程。

由于正态过程的一阶矩和二阶矩存在，所以正态过程就是二阶矩过程。

定义11：设 { W ( t ) , − ∞ < t < ∞ } \{W(t),-\infty<t< \infty \} {W(t),−∞<t<∞}为随机过程，如果：
（1）$W(0)=0$；
（2） { W ( t ) , − ∞ < t < ∞ } \{W(t),-\infty<t< \infty \} {W(t),−∞<t<∞}是平稳独立增量过程；
（3）对$∀ s,t $，增量 $W(t)-W(s)N(0,{\sigma }^2|t-s|),{\sigma }^2>0$
则称 { W ( t ) , − ∞ < t < ∞ } \{W(t),-\infty<t< \infty \} {W(t),−∞<t<∞}为维纳过程，也称为布朗运动过程。

定理：设 { W ( t ) , − ∞ < t < ∞ } \{W(t),-\infty<t< \infty \} {W(t),−∞<t<∞}是参数为${\sigma }^2$的维纳过程，则：
（1）对任意$t\in (-\infty ,\infty ),W(t)N(0,{\sigma }^2|t|)$；
（2）对任意$-\infty <a<s,t<\infty$，
$E[(W(s)-W(a))(W(t)-W(a))]={\sigma }^{2}min(s-a,t-a)$
特别，$R_W(s,t)={\sigma }^{2}min(s,t)$

平稳过程

定义12：设 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}是随机过程，如果对任意常数$\tau$和正常数n，$t_1<t_2<...t_n\in T$，$t_1+\tau <t_2+\tau <...t_n+\tau \in T$，$(X(t_1),X(t_2),...,X(t_n))$和$(X(t_1+\tau ),X(t_2+\tau ),...,X(t_n+\tau ))$有相同的联合分布，则称 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}为严平稳分布，也称狭义平稳过程。

定义13：设 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}是随机过程，如果：
（1） { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}是二阶矩过程；
（2）对任意$t\in T$,$m_x(t)=EX(t)=常数$;
（3）对任意$s,t\in T$，$R_x(s,t)=E[X(s)X(t)]=R_x(s-t)$.
则称 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}为广义平稳过程，简称为平稳过程。

若T为离散集，则称平稳过程 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}为平稳序列。