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贝叶斯学习

1 贝叶斯学习背景

试图发现两件事情的关系（因果关系，先决条件&结论）。

执果索因：肺炎→肺癌？不好确定，换成确诊肺癌得肺炎的概率

2 贝叶斯定理

贝叶斯定理是一种用先验慨率来推断后验慨率的公式，它可以表示为：
$$P(h|D)=\frac{P(D|h)P(h)}{P(D)}$$

• $P(h|D)$ 是后验概率，表示在已知事件 D 发生的情况下，事件 h 发生的概率；

• $P(h)$​ 是 h 的先验概率，表示在没有任何其他信息的情况下，事件 h 发生的概率；

  $h$ 代表假设，应互相排斥；且假设空间 $H$ 完全详尽，即 $\sum P(h_i)=1$

• $P(D)$​​ 是证据概率，表示在没有任何其他信息的情况下，事件 D 发生的概率；

  $D$ 代表数据的一个采样集合，需要与 $h$ 独立。

• $P(D|h)$​ 是似然概率，表示在已知事件 h 发生的情况下，事件 D 发生的概率；

  在实践上往往取$log$ ，是可以得到的概率。

举例：$h$ 代表得了癌症，$D$ 为测试结果为阳性。

$P(h|D)$：已知测试结果为阳性，得癌症的概率。

$P(D|h)$​：已知得了癌症，测试结果为阳性的概率。

我们已知：

• 正确的阳性样本: 98% (患有该癌症, 测试结果为 +)
• 正确的阴性样本: 97% (未患该癌症, 测试结果为 -)
• 在整个人群中，只有0.008 的人患这种癌症

如果一个人测试结果阳性，多大概率得癌症？
$$\begin{gathered} \because P(+|\text{cancer})=0.98;P(\text{cancer})=0.008;P(-|\neg \text{cancer})=0.97; \\ \therefore P(+|\neg \text{cancer})=0.03;P(\neg \text{cancer})=0.992 \\ P(+)=\sum _{i}P(+|h_i)P(h_i)=P(+|\text{cancer})P(\text{cancer})+P(+|\neg \text{cancer})P(\neg \text{cancer}) \\ P(\text{cancer}|+)=\frac{P(+|\text{cancer})P(\text{cancer})}{P(+)}=\frac{0.98\times 0.008}{0.98\times 0.008+0.03\times 0.992}=0.21 \end{gathered}$$

3 最大后验假设MAP(Max A Posterior)

求在给定训练集上最有可能的假设。
$$h_{\text{MAP}}=\underset{h\in H}{\mathrm{argmax}}P(D|h)P(h)$$
$\underset{h\in H}{\mathrm{argmax}}$ 指令后续公式取值最大的参数 $h$。

最大后验概率的思想是，在有一些关于参数的先验知识的情况下，根据观测数据来修正参数的概率分布，并选择使后验概率最大的参数值作为估计值。

4 极大似然假设ML(Maximum Likelihood)

如果我们完全不知道假设的概率分布，或者我们知道所有的假设发生的概率相同，那么MAP 等价于 极大似然假设 $h_{ML}$ (Maximum Likelihood)，其公式为
$$h_{ML}={\mathrm{argmax}}_{h_i\in H}P(D|H_i)$$

• 最小二乘LSE

  最小二乘法（Least Squares Method），又称最小平方法，是一种数学优化方法，它通过最小化误差的平方和来找到数据的最佳函数匹配。假设训练数据为$<x_i,d_i>$
  $$d_i=f(x_i)+e_i$$
  $d_i$：独立的样本；$f(x)$：没有噪声的目标函数值；$e_i$​：噪声，独立随机变量，符合正态分布。

• 极大似然和最小二乘法的关系：
  $$\begin{array}{rlr}{h}_{ML}& =\underset{h\in H}{\mathrm{argmax}}P(D|h)P(h)& \\ & =\underset{h\in H}{\mathrm{argmax}}\prod _{i=1}^{m}p(d_i|h)& \\ & =\underset{h\in H}{\mathrm{argmax}}\prod _{i=1}^m\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{1}{2}(\frac{d_i-h(x_i)}{\sigma }{)}^2}& \text{(正态分布)}\\ & =\underset{h\in H}{\mathrm{argmax}}\sum _{i=1}^m\ln \frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}-\frac{1}{2}(\frac{d_i-h(x_i)}{\sigma }{)}^2& \text{(取ln,单调性)}\\ & =\underset{h\in H}{\mathrm{argmax}}\sum _{i=1}^m(d_i-h(x_i){)}^2& \text{(最小二乘)}\end{array}$$
  在独立随机变量，正态分布噪声的情况下，$h_{ML}=h_{LSE}$

5 朴素贝叶斯NB

朴素贝叶斯的核心思想是，根据贝叶斯定理，后验概率 P(Y|X) 与先验概率 P(Y) 和似然概率 P(X|Y) 成正比

朴素贝叶斯假设：
$$P(x|y_i)=P(a_1,a_2...a_n|v_j)=\prod _{i}P(a_i|v_j)$$
$a_1,a_2...a_n$是相互独立的属性，$v_j$某条件。

朴素贝叶斯分类器：
v NB = arg ⁡ max ⁡ v i ∈ V { log ⁡ P ( v j ) + ∑ i log ⁡ P ( a i ∣ v j ) } v_{\text{NB}}=\mathop{\arg\max}_{vi∈V}\{\log P(v_j)+\sum_i\log P(a_i|v_j) \} vNB​=argmaxvi∈V​{logP(vj​)+i∑​logP(ai​∣vj​)}
如果满足属性之间的独立性，那么$v_{\text{MAP}}=v_{\text{NB}}$​

• 举例1：词义消歧 (Word Sense Disambiguation)

  对于单词 w，使用上下文 c 进行词义消歧

  e.g. "A fly flies into the kitchen while he fry the chicken. "

  如何判断fly的含义？根据上下文 $c$ 在词 $w$ 周围一组词 $w_i$ (特征)，进行判断词义$s_i$​

  朴素贝叶斯假设：$P(c|s_k)={\prod }_{w_i\in c}P(w_i|s_k)$

  朴素贝叶斯选择： s = a r g m a x s k { log ⁡ P ( s k ) + ∑ w i ∈ c log ⁡ P ( w i ∣ s k ) } s=\underset{s_k}{argmax}\{\log P(s_k)+\sum_{w_i∈c}\log P(w_i|s_k) \} s=sk​argmax​{logP(sk​)+∑wi​∈c​logP(wi​∣sk​)}

  其中$P(s_k)=\frac{C(s_k)}{C(w)},P(w_i|s_k)=\frac{C(w_i,s_k)}{C(s_k)}$

• 举例 2: 垃圾邮件过滤

  经验：数据量要大；注重邮件头；不对词进行词干化；只用最显著的词；对假阳性做偏置

6 最小描述长度MDL

偏向假设 h 使得最小化
h MDL = arg ⁡ min ⁡ h ∈ H { L C 1 ( h ) + L C 2 ( D ∣ h ) } h_{\text{MDL}}=\mathop{\arg\min}_{h∈H}\{L_{C_1}(h)+L_{C_2}(D|h) \} hMDL​=argminh∈H​{LC1​​(h)+LC2​​(D∣h)}
其中 $L_{C_x}$ 是 $x$ 在编码 $C$ 下的描述长度。

为可能性较大的消息赋予较短的编码

在对信息编码时，更偏好 一个短的且错误更少的假设，而不是一个长的但完美分类训练数据的假设