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本文是SIS模型的原理与公式推导，不涉及代码（后续补充）。

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1 背景

SIS模型是流行病学中的一个模型，流行病是具有传播效应的，能够在一个社会网络中进行传播（比如今年的疫情），在这个网络中，每个节点代表一个人，当两个人联系（建立边）的时候，疾病就有可能进行传播。

而信息传播（information dissemination，也称信息扩散）也可以看作是流行病传播，因为信息传播也需要节点与节点之间有边，才能产生概率进行传播。

就比如我得关注某个小姐姐的微博，并且评论了一句“小姐姐真好看，还缺男朋友么”，那么我和小姐姐就是两个节点，关注与评论这个过程就是建立边的过程，这个边是有向边，由我这个节点指向小姐姐这个节点，我传播的信息是“小姐姐真好看，还缺男朋友么”，但是如果小姐姐私信太多，忽略了我这个私信，或者直接把我拉黑了，那么我这个消息就传播不过去。

流行病学模型中是将传播过程分为了三类：

1. 敏感期（susceptible）：节点尚未患病（获得信息），并且处于容易被邻居传染的时期；
2. 感染期（infectious）：一个被传染了的节点（获得信息），并且有一定的几率把疾病（信息）传感给处于敏感期的邻居；
3. 隔离期（removed）：当一个节点经历了完整的感染期，就不会再被感染（免疫了），也不会再感染其他的节点。

本文讨论的是SIS模型，即节点只有敏感期和感染期的节点，不考虑隔离期的节点。

2 SIS模型原理

由于没有隔离期，所以SIS模型只允许节点在$S$和$I$两个状态之间交替变换，就如新冠一样，你病好了依然有可能继续被感染，所以大家一定要勤通风，多戴口罩。

在《网络、群体与市场》这本书上，将整个模型的流程概括为：

1. 初始情况下，一些节点处于状态$I$，其余节点处于状态$S$；
2. 每个状态$I$的节点$v$在固定数量的步骤$t_i$期间内具有传染性；
3. 在$t_i$期间的每一步，$v$以概率$p$将疾病传染给它所有出在状态$S$的邻居；
4. 经过$t_i$步骤后，节点$v$不再具有传染性，返回状态$S$。

但是还有种情况，也就是我主要要讲的情况：

1. 整个网络中共有$N$个人，该网络并不会发生变化；
2. 在最初时刻，有$I$个被感染的人，$S$个易感染的人，即$N=I+S$；
3. 每个时刻被感染者的比例为$i(t)$，易感者的比例为$s(t)$，这里$i(t)+s(t)=1$，$i(t)$是$t$时刻的$\frac{I(t)}{N}$，$s(t)$是$t$时刻的$\frac{S(t)}{N}$；
4. 假设在每一个时刻每个感染者有$\lambda$的概率把毒传染给邻居，且有$\mu$的概率被治疗成功。

由于这是个需要考虑变化率的问题，所以我们可以通过构建微分方程求解。微分方程为：
$$N\frac{di(t)}{dt}=Ni(t)\lambda s(t)-\mu Ni(t)$$

$$N\frac{ds(t)}{dt}=-Ni(t)\lambda s(t)+\mu Ni(t)$$

我们以第一个公式来看，该公式表达了在$t$时刻感染者$i(t)$的变化率，其构成为当日新增的患者$Ni(t)\lambda s(t)$减去当日治愈的患者$\mu Ni(t)$。

$Ni(t)\lambda s(t)$的意思是，一共有$Ni(t)$个患者，每个人有$\lambda$的概率感染别人，被感染的人的比率那么就有$\lambda s(t)$。$\mu Ni(t)$的意思是，一共有$Ni(t)$个患者，每个人有$\mu$的概率被治愈。这里都是概率，是因为$\frac{di(t)}{dt}$求的就是比率。

由上面的内容我们可以绘制出如下图：

有了公式后，我们就开始解该微分方程。

3 求解微分方程

由于两个公式只是个负号的区别，所以我们只讨论第一个公式：
$$N\frac{di(t)}{dt}=Ni(t)\lambda s(t)-\mu Ni(t)$$

我们首先先把公式改为习惯的样子：
$$\frac{di}{dt}=\lambda is-\mu i$$

这里只是为了方便书写，把$(t)$去掉了，但是大家要时刻记得$i$和$s$都是关于$t$的函数，而$\lambda$和$\mu$是常数项。

并且我们由已知可得：
$$s(t)+i(t)=1\to s(t)=1-i(t)$$

于是公式转换为：
$$\frac{di}{dt}=(\lambda -\mu )i-\lambda i^2$$

由于有$i^2$，所以这是个伯努利方程，采用伯努利方程的解法，等式两边同时除$i^2$：
$$i^{-2}{i}^{\prime }-(\lambda -\mu )i^{-1}=-\lambda$$

令$i^{-1}=u$，并对其求导可得：
$$-i^{-2}{i}^{\prime }=\frac{du}{dt}\to i^{-2}{i}^{\prime }=-\frac{du}{dt}$$

于是原等式变为：
$$-\frac{du}{dt}-(\lambda -\mu )u=-\lambda$$

将负号去掉：
$$\frac{du}{dt}+(\lambda -\mu )u=\lambda$$

我们发现这是一个一阶线性微分方程，直接带通解公式得：
$$u=e^{-\int (\lambda -\mu )dt}[\int \lambda e^{\int (\lambda -\mu )dt}dt+c]$$

对其求解积分得：
$$u=e^{-(\lambda -\mu )t}[\frac{\lambda }{\lambda -\mu }{e}^{(\lambda -\mu )t}+c]$$

将其化简可得：
$$u=\frac{\lambda }{\lambda -\mu }+c{e}^{-(\lambda -\mu )t}$$

将$u$变回$i$得：
$$i^{-1}=\frac{\lambda }{\lambda -\mu }+c{e}^{-(\lambda -\mu )t}$$

解得$i$：
$$i=[\frac{\lambda }{\lambda -\mu }+c{e}^{-(\lambda -\mu )t}{]}^{-1}$$

我们现在的目标是求解$c$，令$i(0)=b$，代入上面的方程得：
$$b=[\frac{\lambda }{\lambda -\mu }+c{]}^{-1}$$

解得：
$$c=\frac{1}{b}-\frac{\lambda }{\lambda -\mu }$$

于是得到结果：
$$i=[\frac{\lambda }{\lambda -\mu }+(\frac{1}{b}-\frac{\lambda }{\lambda -\mu })e^{-(\lambda -\mu )t}{]}^{-1}$$

到这里公式就求解完毕了，不过需要讨论$\lambda$与$\mu$的关系：

1. 如果$\lambda \ne \mu$，那么就是上面的公式；
2. 如果$\lambda =\mu$，那么公式为：$i=[\lambda t+\frac{1}{b}{]}^{-1}$

至于这个怎么算出来的，我查了许多资料都没有讲解的，只有这么一串代码：

那么这告诉我们，这不是人算的，所以只要会用就行了。

4 参考

[1]大卫·伊斯利, 乔恩·克莱因伯格.网络、群体与市场——揭示高度互联世界的行为原理与效应机制[M].清华大学出版社:北京,2011-10:398-411.
[2]贺先平贺先平.传染病模型(微分方程)[EB/OL].https://wenku.baidu.com/view/0783ee1e2e3f5727a4e9620d.html,2014-6-22.
[3]KeepLearn.数学建模常用算法——传染病模型（二）SIS模型[EB/OL].https://zhuanlan.zhihu.com/p/142017716,2020-5-20.