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1. 欧氏空间

欧几里德空间(Euclidean Space)，简称为欧氏空间，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。 
这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。 
欧氏空间是一个的特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。内积空间是对欧氏空间的一般化。内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。 
欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的许多性质

        2.黎曼空间

是一种非欧几里得空间，但它依然是一种度量空间，具有不变的线元ds2=gikdxidxk，其中，作为广义坐标（x0,x1,…,xn）函数的gik，称为黎曼度规，是个二阶对称张量，故又称度规张量。
它决定着黎曼空间的几何性质。黎曼空间的几何称黎曼空间的几何性质。黎曼空间的几何称黎曼几何。黎曼空间是弯曲空间，其曲率张量的分量不可能全部都等于零
，不可能通过坐标的变换将黎曼空间变为欧几里得空间，即把线元变为ds2=δikdxidxk，(δik=1，当i=k；δik=0，当i≠k，其中i,k=0,1,2,…,n)