前缀和与差分

应用总结

1. 前缀和用来查询一段区间的和。
   具体应用有求最大子段和，求二维矩阵规定长度的子矩阵和，对于没有规定具体长度的子矩阵和可以通过前缀和压缩

2. 差分
   对一段区间的操作，转换为对首尾差值的加减。
   应用于对一段区间整体操作，与前缀和相结合输出结果。

前缀和

截断数组

给定一个长度为 n
的数组 a1,a2,…,an
。

现在，要将该数组从中间截断，得到三个非空子数组。

要求，三个子数组内各元素之和都相等。

请问，共有多少种不同的截断方法？

输入格式
第一行包含整数 n
。

第二行包含 n
个整数 a1,a2,…,an
。

输出格式
输出一个整数，表示截断方法数量。

数据范围
前六个测试点满足 1≤n≤10
。
所有测试点满足 1≤n≤105
，−10000≤ai≤10000
。

输入样例1：
4
1 2 3 3
输出样例1：
1
输入样例2：
5
1 2 3 4 5
输出样例2：
0
输入样例3：
2
0 0
输出样例3：
0

思路

将数组分为等和的三段，对应于前缀和就是，找到公差设为$ave$为总和三分之一的前缀和数组等差数列。
公差相等，三段前缀和的特征为第一段为$ave$，第二段为$2ave$，第三段为$3ave$。记录所有可能第一段的个数，当遍历到可能第二段时，用第一段数量更新数量，因为第一段和第二段确定后，第三段也相应确定，所以第三段可以不管他。

代码

N = 100010a = [0] * N
n = int(input())a[1 : n + 1] = list(map(int, input().split()))for i in range(1, n + 1) : # 计算前缀和a[i] += a[i - 1]if a[n] % 3 or n < 3 : # 当元素个数小于3或者和不是3的倍数时肯定无法分组print(0)
else :ave = a[n] // 3 # 公差ans, cnt = 0, 0for i in range(2, n) :if a[i - 1] == ave : cnt += 1 # 记录第一段个数if a[i] == 2 * ave : ans += cnt # 遇见每个第二段时，都能确定分段方法print(ans)

最大加权矩形

题目描述

为了更好的备战 NOIP2013，电脑组的几个女孩子 LYQ,ZSC,ZHQ 认为，我们不光需要机房，我们还需要运动，于是就决定找校长申请一块电脑组的课余运动场地，听说她们都是电脑组的高手，校长没有马上答应他们，而是先给她们出了一道数学题，并且告诉她们：你们能获得的运动场地的面积就是你们能找到的这个最大的数字。

校长先给他们一个 $n\times n$ 矩阵。要求矩阵中最大加权矩形，即矩阵的每一个元素都有一权值，权值定义在整数集上。从中找一矩形，矩形大小无限制，是其中包含的所有元素的和最大 。矩阵的每个元素属于 $[-127,127]$ ,例如

 0 –2 –7  0 9  2 –6  2
-4  1 –4  1 
-1  8  0 –2

在左下角：

9  2
-4  1
-1  8

和为 $15$。

几个女孩子有点犯难了，于是就找到了电脑组精打细算的 HZH，TZY 小朋友帮忙计算，但是遗憾的是他们的答案都不一样，涉及土地的事情我们可不能含糊，你能帮忙计算出校长所给的矩形中加权和最大的矩形吗？

输入格式

第一行：$n$，接下来是 $n$ 行 $n$ 列的矩阵。

输出格式

最大矩形（子矩阵）的和。

样例 #1

样例输入 #1

4
0 -2 -7 09 2 -6 2
-4 1 -4  1 
-1 8  0 -2

样例输出 #1

15

提示

$1\le n\le 120$

思路

求最大子矩阵和，让人想到了最大子段和，然而矩阵是在二维进行操作。因此需要将矩阵进行压缩，我们选择对行进行压缩，对连续的行之间可以看成是一行，通过组合的形式可以考虑到所有情况。组合通过前缀和来进行实现。

代码

N = 130
a = [[0] * N for _ in range(N)]n = int(input())for i in range(1, n + 1) :a[i][1 : n + 1] = list(map(int, input().split()))# 计算二维前缀和
for i in range(1, n + 1) :for j in range(1, n + 1) :a[i][j] += a[i - 1][j] + a[i][j - 1] -a[i - 1][j - 1]
# 进行矩阵压缩和求最大子段和
ans = -1000010
for i in range(1, n + 1) :for j in range(1, i + 1) : # 从包含1行到包含i行f = [0] * (n + 1)minn = 0for k in range(1, n + 1) :f[k] = a[i][k] - a[i - j][k]ans = max(ans, f[k] - minn)minn = min(minn, f[k])
print(ans) 

差分

海底高铁

题目描述

该铁路经过 $N$ 个城市，每个城市都有一个站。不过，由于各个城市之间不能协调好，于是乘车每经过两个相邻的城市之间（方向不限），必须单独购买这一小段的车票。第 $i$ 段铁路连接了城市 $i$ 和城市 $i+1(1\le i<N)$。如果搭乘的比较远，需要购买多张车票。第 $i$ 段铁路购买纸质单程票需要 $A_i$ 博艾元。

虽然一些事情没有协调好，各段铁路公司也为了方便乘客，推出了 IC 卡。对于第 $i$ 段铁路，需要花 $C_i$ 博艾元的工本费购买一张 IC 卡，然后乘坐这段铁路一次就只要扣 $B_i(B_i<A_i)$ 元。IC 卡可以提前购买，有钱就可以从网上买得到，而不需要亲自去对应的城市购买。工本费不能退，也不能购买车票。每张卡都可以充值任意数额。对于第 $i$ 段铁路的 IC 卡，无法乘坐别的铁路的车。

Uim 现在需要出差，要去 $M$ 个城市，从城市 $P_1$ 出发分别按照 $P_1,P_2,P_3,\cdots ,P_M$ 的顺序访问各个城市，可能会多次访问一个城市，且相邻访问的城市位置不一定相邻，而且不会是同一个城市。

现在他希望知道，出差结束后，至少会花掉多少的钱，包括购买纸质车票、买卡和充值的总费用。

输入格式

第一行两个整数，$N,M$。

接下来一行，$M$ 个数字，表示 $P_i$。

接下来 $N-1$ 行，表示第 $i$ 段铁路的 $A_i,B_i,C_i$。

输出格式

一个整数，表示最少花费

样例 #1

样例输入 #1

9 10
3 1 4 1 5 9 2 6 5 3
200 100 50
300 299 100
500 200 500
345 234 123
100 50 100
600 100 1
450 400 80
2 1 10

样例输出 #1

6394

提示

$2$ 到 $3$ 以及 $8$ 到 $9$ 买票，其余买卡。

对于 $30\%$ 数据 $M=2$。

对于另外 $30\%$ 数据 $N\le 1000，M\le 1000$。

对于 $100\%$ 的数据 $M,N\le 10^5，A_i,B_i,C_i\le 10^5$。

思路

由于每个城市只有一段路可以到达，而每段路都需要买相应的车票或者使用IC卡。每段路互不相干，这样对于费用的计算只需要知道每一段路经过次数。由于出差每次访问城市可能不是相邻的，所以对于每次的访问需要改变所有途经的路径，这就可以使用差分来记录了。

代码

N = 100010
a = [0] * N
f = [0] * N
n, m = map(int, input().split())a[1 : m + 1] = list(map(int, input().split()))# 计算差分,路径按照小的城市号规定
for i in range(2, m + 1) :x, y = a[i - 1], a[i]f[min(x, y)] += 1f[max(x, y)] -= 1
# 计算前缀和
for i in range(1, n) :f[i] += f[i - 1]
res = 0
for i in range(1, n) :x, y, z = map(int, input().split())res += min(x * f[i], z + y * f[i])
print(res)

改变数组元素

给定一个空数组 V
和一个整数数组 a1,a2,…,an
。

现在要对数组 V
进行 n
次操作。

第 i
次操作的具体流程如下：

从数组 V
尾部插入整数 0
。
将位于数组 V
末尾的 ai
个元素都变为 1
（已经是 1
的不予理会）。
注意：

ai
可能为 0
，即不做任何改变。
ai
可能大于目前数组 V
所包含的元素个数，此时视为将数组内所有元素变为 1
。
请你输出所有操作完成后的数组 V
。

输入格式
第一行包含整数 T
，表示共有 T
组测试数据。

每组数据第一行包含整数 n
。

第二行包含 n
个整数 a1,a2,…,an
。

输出格式
每组数据输出一行结果，表示所有操作完成后的数组 V
，数组内元素之间用空格隔开。

数据范围
1≤T≤20000
,
1≤n≤2×105
,
0≤ai≤n
,
保证一个测试点内所有 n
的和不超过 2×105
。

输入样例：
3
6
0 3 0 0 1 3
10
0 0 0 1 0 5 0 0 0 2
3
0 0 0
输出样例：
1 1 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
0 0 0

思路

每次操作都是将一段区间进行操作，很显然用差分的做法。在进行前缀和后只需要判断是否为0，即可判断是否被操作过。

代码

'''
0代表未操作
其他数字ai代表将本位置起的ai个元素全部变为1
差分是对一段区间进行一次性操作，我们只需要统一区间操作的情况下，
进行操作（比如如果有操作则统一+1）,那么只要差分后的前缀和不是0则证明被变为1过
'''T = int(input())for _ in range(T) :n = int(input())a = [0] * (n + 2)f = [0] * (n + 2)f[1 : n + 1] = list(map(int, input().split()))for i in range(1, n + 1) :if f[i] :if f[i] >= i :a[1] += 1else :a[i - f[i] + 1] += 1a[i + 1] -= 1for i in range(1, n + 1) :a[i] += a[i - 1]if a[i] != 0 :print(1, end = " ")else : print(0, end = " ")print()