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【傅里叶分析】复数基础知识
- 复数
- 复数的几何意义
- 与点的对应
- 与向量的对应
- 复数与极坐标
- 辐角与辐角主值
- 三角函数
- 参考文献
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复变函数是傅里叶分析的基础，而复数是复变函数的基础。本文介绍了一些基础的关于复数的知识。
复数
对任意两个实数 x , y x, y x,y，有复数 z = x + i y z=x+iy z=x+iy，其中 i 2 = − 1 i^2=-1 i2=−1， i i i称为虚部。
也可以将复数 z z z的实部表示为 R e ( z ) = x Re(z)=x Re(z)=x，虚部表示为 I m ( z ) = y Im(z)=y Im(z)=y
复数的几何意义
与点的对应
如果以复数的实部为横轴、虚部为纵轴建立坐标系，则这个坐标系称为复平面
这样复数 z = x + y i z=x+yi z=x+yi就和复平面上的点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)一一对应
复平面的横坐标称为实轴，纵坐标表称为虚轴
与向量的对应
复数 z = x + y i z=x+yi z=x+yi还可以和平面向量 O Z → = ( x , y ) \overrightarrow{OZ}=(x,y) OZ=(x,y)一一对应（实数0与零向量对应）
因此复数的模和向量的模计算方式相同。复数 z = x + y i z=x+yi z=x+yi的模 ∣ z ∣ = x 2 + y 2 |z|=\sqrt{x^2+y^2} ∣z∣=x2+y2
复数与极坐标
辐角与辐角主值
表示复数 z z z的位置，也可以借助极坐标 ( r , θ ) (r,\theta) (r,θ)。那么 r r r就是复数的模，而 θ \theta θ则为复数与实轴正方向的夹角，且满足：
tan θ = y x \tan \theta=\frac{y}{x} tanθ=xy
θ \theta θ称为复数 z z z的辐角，记为：
θ = A r g z \theta = {\rm Arg} \, z θ=Argz
正切函数是周期函数，任一非零复数都有无数个辐角，所以 A r g z {\rm Arg}\,z Argz实际上是一个集合。但是该集合中只有一个 θ \theta θ满足条件：
− π < θ < π {-} \pi < \theta < \pi −π<θ<π
将这个 θ \theta θ记为 a r g z {\rm arg}\, z argz，即辐角主值或主辐角。
辐角的集合则可以表示为 A r g z = { a r g z + 2 k π ∣ k ∈ Z } {\rm Arg} \, z=\{{\rm arg}\, z+2k \pi \,|\, k \in \mathbf{Z}\} Argz={argz+2kπ∣k∈Z}
三角函数
在极坐标中，复数 z = x + i y z=x+iy z=x+iy在实轴和虚轴上的值都可以用三角函数来表示：
{ x = r cos θ y = r sin θ \begin{cases} x=r\, \cos \theta \\ y=r\, \sin \theta \end{cases} {x=rcosθy=rsinθ
由此，复数本身也可以用三角函数来表示：
z = r ( cos θ + i sin θ ) z=r(\cos \theta + i \, \sin \theta) z=r(cosθ+isinθ)
参考文献
- 复变函数：复数基本知识、欧拉公式、复变函数的导数、解析函数
- Oi Wiki网-数学-复数