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ch3 分组密码的差分分析和相关分析方法
3.1 差分分析
- 评估分组密码安全性通用方法
- 可用于杂凑函数和流密码安全性
预备知识：
- 迭代性分组密码（分组密码一般结构）
- 简化版本 mini-AES CipherFour算法
3.1.1 差分分析原理
现象：密钥在异或运算过程中被抵消 → 直接从明文对异或值得到密文对异或值（绕过密钥）【不随机现象】
差分值: X和X’是两个长度为n的二进制比特串， Δ X = X ⊕ X ′ { ΔX=X \oplus X'} ΔX=X⊕X′ 称为X和X’的差分值
- 模加运算 模减差分
i轮差分、i轮差分对（differential）: P β 0 → i 轮 β i {P \beta_{0} \stackrel{i轮}\to \beta_{i} } Pβ0→i轮βi 差分经过i轮的传播特性
i轮差分概率： D P ( β 0 → i 轮 β i ) {DP(\beta_{0} \stackrel{i轮}\to \beta_{i}) } DP(β0→i轮βi)
理想分组密码： α {\alpha} α 是输入差分， β {\beta} β 是输出差分，n是分组长度，理想分组密码满足随机置换, ∀ β ∈ { 0 , 1 } n , D P ( α → i 轮 β ) = 1 / 2 n { \forall \beta \in \{0,1\} ^{n},DP(\alpha \stackrel{i轮}\to \beta)=1/2^{n} } ∀β∈{0,1}n,DP(α→i轮β)=1/2n,构造区分器关键：找到高概率的i轮差分 α → i 轮 β {\alpha \stackrel{i轮}\to \beta} α→i轮β，满足 D P ( α → i 轮 β ) > 1 / 2 n {DP(\alpha \stackrel{i轮}\to \beta)>1/2^{n}} DP(α→i轮β)>1/2n
差分分析原理：
- 发现长轮数、高概率的i轮差分（不随机现象）
- 建立与部分密钥有关的带概率的方程，利用正误密钥下，中间状态满足特定差分值的明密文对数服从不同分布，恢复密钥（分割密钥空间，建立方程组/约束条件，进行密钥恢复攻击）
差分分析攻击模型
假设 D P ( α , β ) = p > 1 / 2 n ， ∣ K ~ ∣ = k {DP(\alpha , \beta)=p >1/2^{n}，|\widetilde{K}|=k} DP(α,β)=p>1/2n，∣K ∣=k,设置 2 k { 2^{k} } 2k 个计数器，初始化为0
- 采样：选取满足条件的差分明文对
- 去噪：根据β值过滤对应的密文
- 恢复密钥：对方程组每个解都设置1个计数器，处理完所有明文对后从大到小排序，前 2 k − a {2^{k-a}} 2k−a个作为正确密钥候选值,结合穷举攻击等确定正确密钥
3.1.2 CipherFour 算法差分分析
3.1.2.1 各运算部件差分传播特性
CipherFour算法：
- 16bit分组长度
- r轮迭代
- 密钥长度为16(r+1)bits
- 假设轮密钥相互独立
算法每一轮（除最后一轮）包含：
- 16比特的轮密钥异或
- 4个4比特的S盒
- 16比特的比特置换
最后一轮包含：
- 16比特的轮密钥异或
- 4个4比特的S盒
- 16比特的白化密钥异或
1.S盒
非线性变换S盒差分传播概率：
- 输入差分α过S盒后变为输出差分β，记为** α → S β {\alpha \stackrel{S}\to \beta} α→Sβ**
- 满足 α → S β {\alpha \stackrel{S}\to \beta} α→Sβ 的明文对的个数为** N S ( α , β ) {N_{S}(\alpha,\beta)} NS(α,β)**
- 相应的 α → S β {\alpha \stackrel{S}\to \beta} α→Sβ 的差分传播概率为** D P ( α → S β ) = P r ( α → S β ) = N S ( α , β ) 2 m {DP(\alpha \stackrel{S}\to \beta)=Pr(\alpha \stackrel{S}\to \beta)=\frac{N_{S}(\alpha,\beta)}{2^{m}} } DP(α→Sβ)=Pr(α→Sβ)=2mNS(α,β)**
S盒差分分布表（DDT）
- 构造：α为行标，β为列标，行列交错处的项为 N S ( α , β ) {N_{S}(\alpha,\beta)} NS(α,β)，构造的 2 m × 2 n {2^{m}×2^{n}} 2m×2n的表
- CipherFour的DDT特性
- D P ( 0 x 0 → S 0 x 0 ) = 1 {DP(0x0 \stackrel{S}\to 0x0)=1} DP(0x0→S0x0)=1
- D P ( 0 x 0 → S 0 x i ) = 1 , i ≠ 0 {DP(0x0 \stackrel{S}\to 0xi)=1,i\neq0} DP(0x0→S0xi)=1,i=0
- 若 N S ( α , β ) = 0 {N_{S}(\alpha,\beta)=0} NS(α,β)=0，记作 α ↛ β {\alpha \nrightarrow \beta} α↛β
- 如 D P ( 0 x f → S 0 x 1 ) = 0 {DP(0xf \stackrel{S}\to 0x1)=0} DP(0xf→S0x1)=0
- 对随机置换RP(Random Permutation)
- P r ( α → R P β ) = 1 2 4 {Pr(\alpha \stackrel{RP}\to \beta)=\frac{1}{2^{4}}} Pr(α→RPβ)=241
- DDT中的数都是偶数
2.P置换
拉线操作，只改变bit位置，不改变取值
输出差分等于输入差分经过P置换后的结果
P ( X ) ⊕ P ( X ′ ) = P ( X ⊕ X ′ ) {P(X)\oplus P(X')=P(X \oplus X')} P(X)⊕P(X′)=P(X⊕X′)
3.异或密钥AK
（ X ⊕ K ) ⊕ ( X ′ ⊕ K ) = X ⊕ X ′ {（X\oplus K)\oplus (X'\oplus K)=X \oplus X'} （X⊕K)⊕(X′⊕K)=X⊕X′
输出差分等于输入差分
总结可得，差分在各部件的传播特性为：
- 过线性变换差分值确定
- 异或密钥差分值不变
- 过非线性变换差分值不确定，传播概率由S盒DDT决定
3.1.2.2 CipherFour算法的多轮差分路线
i轮差分路线 β 0 → 1 轮 β 1 → 1 轮 β 2 → 1 轮 . . . → 1 轮 β i {\beta_{0}\stackrel{1轮}\to \beta_{1}\stackrel{1轮}\to \beta_{2}\stackrel{1轮}\to... \stackrel{1轮}\to\beta_{i}} β0→1轮β1→1轮β2→1轮...→1轮βi
i轮差分路线概率
- 分组密码输入X以及轮密钥取值相互独立且均匀分布
- 等于各轮差分路线概率乘积
- D P ( β 0 → 1 轮 β 1 → 1 轮 β 2 → 1 轮 . . . → 1 轮 β i ) = ∏ j = 1 i D P ( β j − 1 → 1 轮 β j ) {DP(\beta_{0}\stackrel{1轮}\to \beta_{1}\stackrel{1轮}\to \beta_{2}\stackrel{1轮}\to... \stackrel{1轮}\to\beta_{i})=\prod \limits_{j=1}^iDP(\beta_{j-1}\stackrel{1轮}\to \beta_{j})} DP(β0→1轮β1→1轮β2→1轮...→1轮βi)=j=1∏iDP(βj−1→1轮βj)
i轮最优差分路线
- 所有i轮差分路线中概率最大的（可能不止一条）
活跃S盒
- 输入差分非零的S盒
影响i轮差分路线概率的主要因素
- 活跃S盒个数
- 活跃S盒对应的输出差分
CipherFour 1轮最优差分路线
- 需要活跃S盒的个数≥1，由DDT表可得，
- D P ( 0 x F → S 0 x D ) = 10 2 4 = 5 8 {DP(0xF \stackrel{S}\to 0xD)=\frac{10}{2^{4}}=\frac{5}{8}} DP(0xF→S0xD)=2410=85
2轮最优差分路线与1轮最优无关
- 直接以1轮最优差分路线的输出差分为输入差分，得到的DP为 5 8 ⋅ ( 3 5 ) 3 ≈ 0.033 {\frac{5}{8}·(\frac{3}{5})^{3}≈0.033} 85⋅(53)3≈0.033
- 保持每轮一个S盒，概率为 D P ( 0 x 2 → S 0 x 2 ) = 6 2 4 = ( 3 8 ) 2 {DP(0x2 \stackrel{S}\to 0x2)=\frac{6}{2^{4}}=(\frac{3}{8})^{2}} DP(0x2→S0x2)=246=(83)2,更优
差分路线级联
迭代型差分概率
- 给定概率为 p i {p_{i}} pi的i轮差分路线 β 0 → 1 轮 β 1 → 1 轮 β 2 → 1 轮 . . . → 1 轮 β i {\beta_{0}\stackrel{1轮}\to \beta_{1}\stackrel{1轮}\to \beta_{2}\stackrel{1轮}\to... \stackrel{1轮}\to\beta_{i}} β0→1轮β1→1轮β2→1轮...→1轮βi，若 β 0 = β i {\beta_{0}=\beta_{i}} β0=βi,迭代该路线k次，得到一条ki轮的差分路线 β 0 → 1 轮 β 1 → 1 轮 . . . → 1 轮 β 0 → 1 轮 β 1 → 1 轮 . . . → 1 轮 β 0 {\beta_{0}\stackrel{1轮}\to \beta_{1}\stackrel{1轮}\to ...\stackrel{1轮}\to\beta_{0}\stackrel{1轮}\to \beta_{1} \stackrel{1轮}\to ... \stackrel{1轮}\to\beta_{0}} β0→1轮β1→1轮...→1轮β0→1轮β1→1轮...→1轮β0
3.1.2.3 CipherFour算法的多轮差分
实验得到i轮差分概率大于单条差分路线的概率。
没有必要固定中间状态的差分
（基于独立性假设）r轮差分的概率
- 共s条输入差分为 β 0 {\beta_{0}} β0,输出差分为 β i {\beta_{i }} βi的i轮差分路线
D P ( b e t a 0 → i 轮 β 1 ) = ∑ t = 1 s D P ( β 0 → 1 轮 β 1 t → . . . → β i − 1 t → 1 轮 β i t ) = ∑ t = 1 s ( ∏ j = 1 i D P ( β j − 1 t → 1 轮 β j t ) ) DP(beta_{0}\stackrel{i轮}\to \beta_{1})=\sum\limits_{t=1}^{s}DP(\beta_{0}\stackrel{1轮}\to \beta_{1}^{t}\to ... \to \beta_{i-1}^{t}\stackrel{1轮}\to\beta_{i}^{t}) \\=\sum\limits_{t=1}^{s}\big (\prod\limits_{j=1}^{i}DP(\beta_{j-1}^{t}\stackrel{1轮}\to\beta_{j}^{t}) \big) DP(beta0→i轮β1)=t=1∑sDP(β0→1轮β1t→...→βi−1t→1轮βit)=t=1∑s(j=1∏iDP(βj−1t→1轮βjt))
Markov密码算法：满足独立性假设的算法
通过不随机现象区分4轮CipherFour算法和随机置换 0.08>0.000015
3.1.2.4 5轮CipherFour算法的密钥恢复攻击
5轮等于4轮CipherFour算法+1 “4+1”
4轮加密后的输出是 中间变量，猜测 k 5 {k_{5}} k5的取值
- 采样
- 选择m对满足输入差分的输入对，计算5轮加密后的密文对
- 去噪
- 筛选并删除错误对
- 若四轮加密后中间状态为(0,0,2,0)，由DDT得到 ( 0 , 0 , 2 , 0 ) → S ( 0 , 0 , h , 0 ) , h ∈ 1 , 2 , 9 , a {(0,0,2,0) \stackrel{S}\to (0,0,h,0), h∈{1,2,9,a}} (0,0,2,0)→S(0,0,h,0),h∈1,2,9,a
- 正确对相应的密文差分只有四种可能 (0,0,1,0), (0,0,2,0), (0,0,9,0), (0,0,a,0)
- 恢复密钥
- 解方程 S − 1 ( k 5 , 2 ⊕ c 2 ) ⊕ S − 1 ( k 5 , 2 ⊕ c 2 ′ ) = 2 {S^{-1}(k_{5,2}\oplus c_{2})\oplus S^{-1}(k_{5,2}\oplus c_{2}^{'})=2} S−1(k5,2⊕c2)⊕S−1(k5,2⊕c2′)=2，并对每个解设置计数器
- 按计数器取值由大到小对去噪的明文对进行排序，前 2 4 − a {2^{4-a}} 24−a个作为正确密钥的候选值
- 恢复4-bit k 5 , 2 {k_{5,2}} k5,2,实现分割
- 剩余密钥差分或者穷举
正确对:
- 一定满足区分器的头尾差分
- 代入S盒有关方程 解一定包括正确密钥
错误对:
- 一定不满足区分器的头部或尾部差分
- 代入S盒有关方程 解只包含错误密钥
复杂度：重要的是选择明文的个数
信噪比 S N {S_{N}} SN
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正确密钥(信息)的计数/错误密钥（噪声）的平均计数
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1 ≤ S N {S_{N}} SN ≤2，需保证有20-40正确对 S N {S_{N}} SN较大
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S N {S_{N}} SN ≥100时，需保证有3-4个正确对