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1. 级数收敛的必要条件：项趋于 0
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定理：如果级数 ∑ n = 1 ∞ a n \sum_{n=1}^{\infty} a_n ∑n=1∞an 收敛，那么
lim n → ∞ a n = 0 。 \lim_{n \to \infty} a_n = 0。 n→∞liman=0。
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说明：
- 这是级数收敛的一个必要条件，但不是充分条件。
- 即，如果项 a n a_n an 不趋于 0，级数一定发散；
- 但即使项趋于 0，级数也不一定收敛（例如调和级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} ∑n=1∞n1）。
- 这一条件适用于所有类型的收敛（绝对收敛或条件收敛）。
2. 绝对收敛与条件收敛的定义
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绝对收敛：如果 ∑ n = 1 ∞ ∣ a n ∣ \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| ∑n=1∞∣an∣ 收敛，则称 ∑ n = 1 ∞ a n \sum_{n=1}^{\infty} a_n ∑n=1∞an 绝对收敛。
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条件收敛：如果 ∑ n = 1 ∞ a n \sum_{n=1}^{\infty} a_n ∑n=1∞an 收敛，但 ∑ n = 1 ∞ ∣ a n ∣ \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| ∑n=1∞∣an∣ 发散，则称 ∑ n = 1 ∞ a n \sum_{n=1}^{\infty} a_n ∑n=1∞an 条件收敛。
3. 项趋于 0 与绝对 / 条件收敛的联系
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无论是绝对收敛还是条件收敛，都必须满足
lim n → ∞ a n = 0 。 \lim_{n \to \infty} a_n = 0。 n→∞liman=0。
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绝对收敛的级数要求更强的条件：
- ∑ ∣ a n ∣ \sum |a_n| ∑∣an∣ 的项 ∣ a n ∣ |a_n| ∣an∣ 也必须趋于 0，
- 且趋于 0 的速度足够快（例如比较判别法 P级数 等比级数、比值法、根值等）。
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条件收敛的级数的项 a n a_n an 趋于 0，但正项和负项的贡献相互抵消才导致收敛（如莱布尼茨判别法中的交错级数 – 单调减 趋于0）。
4. 典型例子
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绝对收敛的例子：
∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} n=1∑∞n2(−1)n
因为 ∑ 1 n 2 \sum \frac{1}{n^2} ∑n21 收敛（ p p p-级数， p = 2 > 1 p = 2 > 1 p=2>1）。
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条件收敛的例子：
∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} n=1∑∞n(−1)n
因为 ∑ 1 n \sum \frac{1}{n} ∑n1 发散，但原级数收敛（莱布尼茨判别法）。
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发散的例子：
∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n n=1∑∞(−1)n
因为项不趋于 0（极限振荡为 − 1 -1 −1 和 1 1 1）。
总结关系：
- ✅ 收敛级数的项必须趋于 0；
- ✅ 绝对收敛： 趋于 0 的速度足够快；
- ✅ 条件收敛： 趋于 0，依赖于正负项的抵消；