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前奏

【机器学习】6 ——最大熵模型

例子

硬币

假设我们有一枚硬币，可能是公平的，也可能是不公平的。我们的任务是估计硬币的正反面出现的概率。我们已知硬币有两个面：正面（H）和反面（T），除此之外没有其他信息。因此，我们希望在不引入不必要假设的情况下，找到最合理的概率分布。

当我们没有任何关于硬币的额外信息时，我们唯一知道的是硬币只有两个面（H 和 T）。基于最大熵原则，我们希望选择最“随机”或最“均匀”的概率分布。在这种情况下，最合理的分布是：
P(H) = 0.5
P(T) = 0.5
这是因为熵的最大化意味着我们选择的是最不确定的分布，即每种可能性是等概率的。

对于两个事件 H 和 T：

H( p)=−[p(H)logp(H) + p(T)logp(T)]

代入 P(H) = 0.5 和 P(T) = 0.5：
H( p)=−[0.5log0.5+0.5log0.5] =−[0.5×(−1)+0.5×(−1)]=1
这是在没有任何其他信息时，熵最大的分布，表示正反面各有 50% 的概率。

假设我们现在有额外的信息，例如在 10 次投掷中正面出现了 7 次，反面出现了 3 次。我们不再假设正反面等概率。

我们需要在这个额外信息（正面出现更多次）和熵最大化之间找到平衡。最大熵模型会根据这个信息调整概率分布，但仍然保持最大的熵。

约束条件：正面出现的频率为 7/10，即我们期望： E(H)=0.7
拉格朗日乘数法：我们引入拉格朗日乘数来最大化熵，同时满足上述的约束条件。我们最大化以下目标函数：

L ( p)=−[p(H)logp(H)+p(T)logp(T)]+λ(p(H)−0.7)

通过求导并解方程，可以得到新的概率分布 P(H)=0.7 和 P(T)=0.3，这符合已知数据的约束条件，同时尽量保持熵的最大化。

垃圾邮件

• 训练数据：
  假设我们有以下几封邮件，并且每封邮件已经标注为垃圾邮件（Spam）或非垃圾邮件（Not Spam）：

邮件1 (Spam): “Win a million dollars now”
邮件2 (Not Spam): “Meeting at 3 PM today”
邮件3 (Spam): “Congratulations! You have won a free gift”
邮件4 (Not Spam): “Project update attached”

• 特征提取：
  首先，从每封邮件中提取特征（即单词）。在这个例子中，我们的特征是邮件中的单词。例如：

“Win”, “million”, “dollars”, “now”, “Meeting”, “project” 等等。
我们可以将每封邮件转化为一个包含特征的向量：

• 邮件1：[“Win”, “million”, “dollars”, “now”]
• 邮件2：[“Meeting”, “3”, “PM”, “today”]
• 邮件3：[“Congratulations”, “You”, “won”, “free”, “gift”]
• 邮件4：[“Project”, “update”, “attached”]
  标签：
  邮件1 -> Spam (1)
  邮件2 -> Not Spam (0)
  邮件3 -> Spam (1)
  邮件4 -> Not Spam (0)

• 最大熵模型的目标：
  模型的目标是根据训练数据估计每封邮件属于垃圾邮件（Spam）或非垃圾邮件（Not Spam）的概率。为了最大化模型的熵，我们引入约束条件，比如已知邮件中出现某些单词时其分类的概率。

• 训练过程：
  我们用最大熵模型来训练这些数据。模型根据邮件中的单词（特征）以及历史邮件的分类信息，计算每个单词在垃圾邮件和非垃圾邮件中的条件概率。

如果"win"这个单词在训练集中大多数时候出现在垃圾邮件中，模型会为"win"分配一个较高的垃圾邮件概率。
如果"meeting"这个单词大多数时候出现在非垃圾邮件中，模型会为它分配一个较高的非垃圾邮件概率。

• 特征是独立的，通常通过词袋模型（Bag of Words）或 TF-IDF（词频-逆文档频率）方法将文本转换为数值表示。
• 在这个例子中，特征提取可以使用词袋模型。对于每封邮件，提取其中的单词并将其表示为一个向量。例如：
  邮件1（“Win a million dollars now”）转换为 [1, 0, 0, 1, 0…]，其中每个位置代表一个单词的出现次数。
  邮件2（“Meeting at 3 PM today”）转换为 [0, 1, 0, 0, 1…]，同样代表单词出现的频率。
  

• 分类预测：
  当有一封新邮件出现时，例如 “Free gift awaiting you”, 最大熵模型会计算它属于垃圾邮件和非垃圾邮件的概率：

P(Spam | “Free gift awaiting you”) = ?
P(Not Spam | “Free gift awaiting you”) = ?

代码

这个很简单，复杂问题可能要考虑更多

from sklearn.feature_extraction.text import CountVectorizer
from sklearn.linear_model import LogisticRegression# 训练样本数据
emails = ["Win a million dollars now", "Meeting at 3 PM today","Congratulations! You have won a free gift", "Project update attached"]# 标签：1表示垃圾邮件，0表示非垃圾邮件
labels = [1, 0, 1, 0]# 特征提取：使用词袋模型
vectorizer = CountVectorizer()
X = vectorizer.fit_transform(emails)# 最大熵模型近似：使用逻辑回归实现
model = LogisticRegression()
model.fit(X, labels)# 测试新邮件
new_emails = ["Free gift awaiting you", "Meeting tomorrow"]
X_new = vectorizer.transform(new_emails)# 预测
predictions = model.predict(X_new)
print("预测结果:", predictions)  # 输出预测类别：1 表示垃圾邮件，0 表示非垃圾邮件# 计算每类概率
probs = model.predict_proba(X_new)
print("分类概率:", probs)  # 输出每封邮件属于垃圾邮件和非垃圾邮件的概率