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素数筛

素数筛的作用是筛选出[2,N]范围内的所有素数，本次主要讲解两种方法，分别是埃氏筛和欧拉筛。证明时会提到唯一分解定理，如果不知道的小伙伴可以先去学一学，那我们开始啦！

1.埃氏筛

主要思想：当找到一个素数时，利用该素数把该素数的所有倍数筛掉。

时间复杂度：$O(nlog(log(n)))$

上代码，

    //每个数的最小质因子//pre[i]表示i的最小质因子book[1] = 1;//记录是否为素数，1表示不是素数book[0] = 1;for(int i =2;i<book.length;i++) {if(book[i]==0) {// i是素数，筛掉素数的倍数 i=2 6 = 2+2+2for(int j = i+i;j<book.length&&j>0;j+=i) {book[j] = 1;} }}

问题：

1. 为什么遍历到i时，若i没有被标记为合数（也就是没有被i前面的数筛掉），则一定是素数？

2. 为什么for循环遍历到sqrt(N)就可以了？

先自己想一想哦，提示是唯一分解定理。

答案：

1. 还记得唯一分解定理吗？一个正整数可以用若干个质数表示，假设当前正整数是n，它可以用质数$p_1,p_2...p_k$表示，$p_1,p_2...p_k$一定比q小。假设q是合数，那么遍历到q，q一定会被$p_1,p_2...p_k$筛掉。如果q是质数呢？他只能写出1*q的形式，它会被自己筛掉。
2. 其实也就是证明sqrt(N)后面的合数一定会被小于sqrt(N)的数筛掉。设$\sqrt{N}<n<N$且$a\ast b=n$,若a<b，则$a<\sqrt{n}<\sqrt{N}$，若a是素数，则n会被a筛掉，若a是合数，则a可以继续分解为更小的素数，而a和n都会被这个更小的素数筛掉，所以即便$\sqrt{N}<n$，但是仅用小于$\sqrt{N}$的数就可以把n筛掉，所以可以遍历到sqrt(N)。

2.欧拉筛

主要思想：埃氏筛的一部分时间耗在了重复的筛某些合数，比如18会被2和3筛掉。欧拉筛保证每个合数只被筛一次，因此也保证了$O(n)$的时间复杂度。

时间复杂度：$O(n)$

上代码，

 int count = 0;for (int i = 2; i < 20000005; i++) {//线性if (!visit[i]) {//如果i是一个质数prime[count++] = i;//记录当前已经找出来的所有的质数}for (int j = 0; j < count && i * prime[j] < 20000005; j++) {visit[i * prime[j]] = true;//用prime[j]筛掉了i * prime[j]。if (i % prime[j] == 0) break;//保证每个合数只被最小的质因子筛掉}}

问题：

1. 为什么if语句满足后可以提前退出循环？
2. 两个for循环嵌套如何实现的线性复杂度？

先自己想一想哦，提示是prime[j]是i的因子，你可以把式子写出来看看。

再讲答案之前先来捋一捋欧拉筛的结构，因为它不像埃氏筛那么直接。

首先一个for循环，接着如果当前的i是素数，则用另一个数组prime存一下，这个数组只存素数。

再来一个for循环，这个for循环就是用来筛合数的，遍历之前找到的所有素数，然后筛掉$prime[j]\ast i$。当满足if语句时，这一轮的筛合数可以提前退出了。

答案：

1. 若此时if语句条件满足了，则prime[j]是i的因子，因此有$i=k\ast prime[j]$。如果此时没有退出for循环，会有$prime[j+1]\ast i$被prime[j+1]筛掉。$prime[j+1]\ast i=prime[j+1]\ast k\ast prime[j]=k^{‘}\ast prime[j]$，这说明了什么？说明被prime[j+1]筛掉的$prime[j+1]\ast i$也会被prime[j]筛掉，这就重复筛了，怎么办？我们让每个数都被其最小的质因子筛掉，那么这里prime[j]就是$prime[j+1]\ast i$最小的质因子，因此j就不继续增大了，直接退出该循环。
2. 因为保证了每个数只被筛一次，第二个for循环总共被执行n次，所有的数被筛完代码也就结束了。

例题

埃氏筛——最小质因子之和

参考代码：

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.StreamTokenizer;
import java.util.Scanner;public class 最小质因子之和Easy {
public static void main(String[] args) throws IOException{//进行预处理f();//求2-n每个数对应的最小质因子sum();//求前缀和数组StreamTokenizer sc = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in))); Scanner scanner = new Scanner(System.in);sc.nextToken();int t = (int)sc.nval;while(t-- >0) {sc.nextToken();int n = (int)sc.nval;System.out.println(res[n]);}
}
static int book[] = new int[4000000];
static int pre[] = new  int[4000000];
private static void f() {//埃氏筛模板//每个数的最小质因子//pre[i]表示i的最小质因子book[1] = 1;//记录是否为素数，1表示不是素数book[0] = 1;for(int i =2;i<book.length;i++) {if(book[i]==0) {// i是素数，筛掉素数的倍数 i=2 6 = 2+2+2pre[i] = i;//求的是质数的最小质因子for(int j = i+i;j<book.length&&j>0;j+=i) {if(book[j]==0) {pre[j] =i;}book[j] = 1;}}}}
static long res[] = new long[4000000];
private static void sum() {//一次求出i 2- n// 2-i的最小质因子之和，前缀和数组可以在O（n）for(int i=2;i<res.length;i++) {res[i] = res[i-1]+pre[i];}
}
}

欧拉筛——最小质因子之和困难版

参考代码：

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;public class 最小质因子之和Hard {public static void main(String[] args) throws IOException {BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));int[] prime = new int[20000005];int[] f = new int[20000005];boolean[] visit = new boolean[20000005];int count = 0;for (int i = 2; i < 20000005; i++) {//线性if (!visit[i]) {//如果i是一个质数prime[count++] = i;f[i] = i;}for (int j = 0; j < count && i * prime[j] < 20000005; j++) {visit[i * prime[j]] = true;f[i * prime[j]] = prime[j];if (i % prime[j] == 0) break;}}long[] sum = new long[20000005];//前缀和数组for (int i = 2; i < f.length; i++) {//System.out.println(f[i]);sum[i] = sum[i - 1] + f[i];}int t = Integer.parseInt(br.readLine());while (t-- > 0) {int n = Integer.parseInt(br.readLine());System.out.println(sum[n]);}}
}