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综述

在计算机中参与运算的机器数有两大类：无符号数和有符号数。

下面主要讲解有符号数:

在机器中，数的“正”、“负”号是无法识别的，有符号数用“0”表示正，用“1”表示负号，从而将符号数值化，并通常约定二进制数的最高位是符号位，即符号位放在有效数字的前面，组成有符号数。

有符号数的机器表示有原码、补码、反码和移码。

根据小数点的位置是否固定，在计算机中的有两种数据格式：定点表示和浮点表示。接下来我们将介绍的算法都是定点表示。

有关浮点数的内存存储及介绍请参考我的另一篇博文：
《浮点数在内存中的存储方式与运算陷阱》

定点表示即约定机器数中的小数点位置是固定不变的，小数点不再使用 “ . ” 表示，而是约定它的位置。理论上，小数点位置固定在哪一位都是可以的，但在计算机中通常采用两种简单的约定

• 将小数点的位置固定在数据的最高位之前，一般称为定点小数
• 将小数点的位置固定在数据的最高位之后，一般称为定点整数

定点小数是纯小数，约定小数点位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前。
定点整数是纯整数，约定小数点位置在符号位有效数值部分最低位之后。

本文将介绍定点数的乘法运算。

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定点数的乘法运算

在计算机中，乘法运算由累加和右移操作实现。根据机器数的不同，可分为

• 原码一位乘法
• 补码一位乘法

原码一位乘法的规则比补码一位乘法简单。我们下面主要介绍补码一位乘法（Booth）算法。

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Booth算法分析

这是一种有符号数的乘法，采用相加和相减操作计算补码数据的乘积。

设 [X]补 = Xs.X1X2···Xn， [Y]补 = Ys.Y1Y2···Yn，则运算规则如下：

• 符号位参与运算，运算的数均以补码表示
• 被乘数一般取双符号位参与运算，部分积取双符号位，初值为0，乘数可取单符号位
• 乘数末尾增设附加位Yn+1，且初值为0
• 根据（Yn，Yn+1）的值来确定操作，具体见下表
• 移位按照补码右移规则进行
• 按照上述算法进行 n+1 步操作，但 n + 1 步不再移位（共进行 n + 1 次累加和 n次右移），仅根据Yn 与 Yn+1 的比较结果做相应的运算。
  

接下来我们分析一个实例：

设机器字长为5位（含一位符号位，n = 4），x = -0.1101，y = 0.1101，采用Booth算法求解 x · y。

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Booth算法的C实现

通过上述分析，我们通过C语言来实现Booth算法。

问题描述：使用纯C实现Booth算法，不允许调用除输入输出外的其他功能库函数。

问题分析：
我们需要完成下述功能：

• 输入x、y，计算出 [X]补、[-X]补、 [Y]补
• 将X改为双符号位数
• 部分积取双符号位，初值为0
• 分割乘数，获取（Yn，Yn+1）的值
• 根据（Yn，Yn+1）的值执行相应操作

完整设计如下：

/**
* Copyright: Copyright(c) 2019
* Created on 26/4/2019
* Author : ZYZMZM
* Version 1.0
* Title : Booth Algorithm
**/#include <stdio.h>/* 存储被乘数 x 的补码 */
char xCom[20] = { 0 };/* 存储 -x 的补码 */
char mxCom[20] = { 0 };/* 存储乘数 y 的补码 */
char yCom[20] = { 0 };/* 存储乘数 y 末位增加 0 */
char multiNum[20] = { 0 };/* 存储部分积的初值 */
char multiSrc[20] = { 0 };/* 计算字符串长度 */
int length(char* ch)
{int len = 0;while (*ch != NULL){++len;++ch;}return len;
}/* 拷贝字符串 */
char* copy(char* dest, const char* src)
{char* tmp = dest;while (*dest++ = *src++) {}return tmp;
}/* 字符串比较 */
int compare(const char* dest, const char* src)
{int tmp = 0;while (!(tmp = *dest - *src) && *dest && *src){dest++;src++;}if (tmp > 0) { return 1; }else if (tmp < 0) { return -1; }else { return 0; }
}/* 字符串截取：截取从src中的begin下标到end下标的字符串，结果存储在res中 */
char* intercept(char* src, char *res, int begin, int end)
{int i = begin;int j = 0;while (i <= end){res[j] = src[i];++j;++i;}return res;
}/* 右移 */
void mRight(char* src)
{int len = length(src);int i = len - 1;/* 获取小数部分的起始位置 */int num = 0;char* p = src;while (*p != '.'){++num;++p;}++num;/* 将小数后的第一位空出，其余全部后移 */for (; i >= num; --i){src[i + 1] = src[i];}++i;/* 根据正负进行添1 或 添0 */if (src[0] == '1'){src[i] = '1';}else{src[i] = '0';}}/* 浮点数加法 */
void Add(char* lhsstr, char *rhsstr, char *result)
{int lhsLen = length(lhsstr);int rhsLen = length(rhsstr);/* 对长度较小的数字，在其后补0，目的是为了使两数长度相同 */if (lhsLen < rhsLen){int diff = rhsLen - lhsLen;int i = lhsLen;while (diff > 0){lhsstr[i] = '0';--diff;++i;}}else if (lhsLen > rhsLen){int diff = lhsLen - rhsLen;int i = rhsLen;while (diff > 0){rhsstr[i] = '0';--diff;++i;}}/* 拿到最大的长度 */int i = lhsLen <= rhsLen ? rhsLen - 1 : lhsLen - 1;int j = i;/* 进位标志 */int flag = 0;while (i >= 0){/* 小数点跳过 */if (lhsstr[i] == '.'){result[i] = '.';--i;continue;}/* 小数点跳过 */if (rhsstr[j] == '.'){result[j] = '.';--j;continue;}int lhs = lhsstr[i] - '0';int rhs = rhsstr[j] - '0';int sum = lhs + rhs;if (flag == 1){sum += 1;flag = 0;}/* 和为2，则需要进位，存储0，更新进位标志 */if (sum == 2) {flag = 1;sum = 0;}/* 和为3，即之前有进位，且现在和为2也有进位，即11，存储1，更新进位标志 */else if (sum == 3){flag = 1;sum = 1;}result[i] = sum + '0';--i;--j;}
}/* 原码转补码 */
void calComplement(char *origin, char *recv)
{/* 负数标志 */int isMinus = 0;if (origin[0] == '-'){isMinus = 1;}char* result = origin;/* 原码为负，补码--> 原码变反加一 */if (isMinus){/* -0.1101  -> 11.xxxx */*origin++ = '1';*origin++ = '1';/* 小数位全部变反 */while (*origin != NULL){if (*origin == '1'){*origin = '0';}else if (*origin == '0'){*origin = '1';}++origin;}/* 加一操作：构造和操作数长度相同的加数，即 11.xxxx + 00.0001 */int len = length(result);char rhs[20] = { 0 };rhs[0] = '0';rhs[1] = '0';rhs[2] = '.';rhs[len - 1] = '1';for (int i = len - 2; i > 2; --i){rhs[i] = '0';}Add(result, rhs, recv);  return;}/* 原码为正，补码不改变，但在这里给补码前补0，即 0.1011 --> 00.1011 */int len = length(origin);for (int i = len - 1; i >= 0; --i){origin[i + 1] = origin[i];}origin[0] = '0';copy(recv, origin);
}/* 补码转原码：最后的结果转换 */
void calOri(char* origin, char* recv)
{/* 负数标志 */int isMinus = 0;if (origin[0] == '1'){isMinus = 1;}char* result = origin;/* 补码的符号位为负 */if (isMinus){/*multiRes : 11.01110001X * Y COM : 1.01110001X * Y : -0.10001111*//*** 11.XXXXX --> -0.XXXXX（通过multiRes补码** 转换，因为11恰好可用-0，都是两位，直接替换） */*origin++ = '-';*origin++ = '0';/* 按位取反 */while (*origin != NULL){if (*origin == '1'){*origin = '0';}else if (*origin == '0'){*origin = '1';}++origin;}/* 加一操作 */int len = length(result);char rhs[20] = { 0 };rhs[0] = '0';rhs[1] = '0';rhs[2] = '.';rhs[len - 1] = '1';for (int i = len - 2; i > 2; --i){rhs[i] = '0';}Add(result, rhs, recv);return;}/* 补码符号位为正，即原码和补码相同 */copy(recv, origin);
}/* booth算法核心实现 */
void Calculate()
{int i = 0;char index[20] = { 0 };/* 拿到末尾添0的乘数副本 */copy(index, multiNum);/* 计算小数部分起始位置 */int num = 0;while (index[i] != '.'){++num;++i;}/* 去掉index的小数点，便于之后进行移位分割 */char res[20] = { 0 };int len = length(index);for (i = num; i < len - 1; ++i){index[i] = index[i + 1];}index[i] = '\0';i = length(index) - 1;/* 首次计算标志，因为首次计算是与部分积初值的计算 */int first = 1;/* 存储部分积 */char multiRes[20] = { 0 };while (i - 1 >= 0){/* 移位分割，从低位向高位分割，分割首末位置每次同时向高位移动一位 */intercept(index, res, i - 1, i); /* 首次是与初值的运算 */if (first){first = 0;if (compare(res, "00") == 0){/* 00 --> 初值右移一位 */mRight(multiSrc);}else if (compare(res, "01") == 0){/* 01 --> 初值加[x]补，并右移一位 */Add(multiSrc, xCom, multiRes);mRight(multiRes);}else if (compare(res, "10") == 0){/* 10 --> 初值加[-x]补，并右移一位 */Add(multiSrc, mxCom, multiRes);mRight(multiRes);}else if (compare(res, "11") == 0){/* 初值右移一位 */mRight(multiSrc);}}/* 非首次都是与部分积的运算 */else{/* 00 --> 部分积右移一位 */if (compare(res, "00") == 0){if (i - 1 != 0)mRight(multiRes);}else if (compare(res, "01") == 0){/* 01 --> 部分积加[x]补，并右移一位 */Add(multiRes, xCom, multiRes);if (i - 1 != 0) mRight(multiRes);}else if (compare(res, "10") == 0){/* 10 --> 部分积加[-x]补，并右移一位 */Add(multiRes, mxCom, multiRes);if (i - 1 != 0)mRight(multiRes);}else if (compare(res, "11") == 0){/* 部分积右移一位 */if (i - 1 != 0)mRight(multiRes);}}--i;}/* 部分积运算结果 */printf("部分积运算结果 : %s\n", multiRes);/* 拷贝运算结果，因为它会被下面计算补码时更改，但是计算原码时要用到它 */char Ori[20] = { 0 };copy(Ori, multiRes);/* 通过部分积得到补码 */if (multiRes[0] == '1'){int mlen = length(multiRes);i = 0;for (; i < mlen - 1; i++){multiRes[i] = multiRes[i + 1];}multiRes[i] = '\0';}printf("[X * Y]补 : %s\n", multiRes);/* 通过部分积得到原码 */char finalRes[20] = { 0 };calOri(Ori, finalRes);printf("X * Y : %s\n", finalRes);}int main()
{char inputx[20] = { 0 };char inputy[20] = { 0 };printf("input x : ");scanf("%s", inputx);printf("input y : ");scanf("%s", inputy);char origin[20] = { 0 };// x补码copy(origin, inputx);calComplement(origin, xCom);printf("[x]补 : %s\n", xCom);// -x补码copy(origin, inputx);int lenx = length(origin);/* 如果x本身就为负，那么直接将负号去掉即可得到-x */if (inputx[0] == '-'){int i = 0;for (; i < lenx - 1; ++i){origin[i] = origin[i + 1];}origin[i] = '\0';}/* 如果x本身为正，那么添加负号得到-x */else{for (int i = lenx - 1; i >= 0; --i){origin[i + 1] = origin[i];}origin[0] = '-';}calComplement(origin, mxCom);printf("[-x]补 : %s\n", mxCom);// y补码copy(origin, inputy);calComplement(origin, yCom);printf("[y]补 : %s\n", yCom);// 乘数y的末尾补0copy(origin, inputy);int leny = length(origin);origin[leny] = '0';origin[leny + 1] = '\0';copy(multiNum, origin);printf("乘数y的末尾补0 : %s\n", multiNum);// 计算部分积初值multiSrc[0] = '0';multiSrc[1] = '0';multiSrc[2] = '.';int len = length(xCom) - 3;int i = 0;int j = 3;for (; i < len; ++i, ++j){multiSrc[j] = '0';}printf("部分积初值: %s\n\n", multiSrc);/* Booth算法 */Calculate();
}

我们输入之前的示例进行验证：

由结果可知，我们的计算是正确的。