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一、MOEA/D-SVR介绍

基于支持向量回归预测器的MOEA/D（MOEA based on decomposition (MOEA/D) Assisted by a Support Vector Regression Predictor，MOEA/D-SVR）的基本思路是通过支持向量回归（SVR）模型对历史种群进行学习，预测生成新环境下的种群，将其与几种先进动态多目标优化算法进行对比，实验结果表明该算法具有很强的竞争力，但在求解某些特定类型动态多目标优化问题（DMOPs）时存在效果不佳的情况。

MOEA/D-SVR是一种基于支持向量回归（SVR）的动态多目标进化优化算法，主要用于解决动态多目标优化问题（DMOPs）。在动态环境中，目标函数会随时间变化，因此需要快速准确地找到不同时刻的帕累托最优集（POS）。该算法利用过去获得的POS训练SVR模型，然后使用训练好的SVR对动态优化问题下一时刻的解进行预测，从而生成由不同个体组成的初始种群，再将其输入到基于种群的优化算法MOEA/D中，以获得该时刻的POS。

基本原理

• 支持向量回归（SVR）：SVR是一种基于统计学习理论的回归技术，通过寻找一个能够以最小误差预测目标值的超平面。在动态多目标优化中，SVR用于学习历史解与目标值之间的映射关系，从而对新环境下的解进行预测。
  

• 动态多目标优化问题（DMOPs）：这类问题的目标函数会随时间变化，导致帕累托最优集（POS）也会发生变化。因此，需要算法能够快速适应环境变化，准确找到新的POS。
  

算法步骤

• 初始化：随机初始化一个种群，并在初始环境进行优化。
• 环境变化检测：检测环境是否发生变化，通常通过监测目标函数值的变化或其他环境变化指标来实现。
• SVR模型训练：当检测到环境变化时，使用过去获得的POS训练一个SVR模型。训练数据包括历史解及其对应的目标函数值。
• 初始种群预测：利用训练好的SVR模型对新环境下的解进行预测，生成初始种群。通过SVR预测目标值，选择高质量的个体作为初始种群，以加速进化过程。
• 优化：将预测得到的初始种群输入到基于种群的优化算法MOEA/D中，进行进一步的优化，得到当前环境下的POS。
• 更新：更新种群和SVR模型，准备应对下一次环境变化。

关键点

• 历史信息利用：通过利用过去获得的POS训练SVR模型，算法能够更好地预测新环境下的解，从而提高优化效率。
• SVR模型的选择和训练：选择合适的SVR模型参数和训练数据对预测性能至关重要。需要根据具体问题的特点进行调整和优化。
• 初始种群质量：预测得到的初始种群质量直接影响后续优化的效果。通过SVR的预测能力，可以生成更接近真实POS的初始种群，加快收敛速度。
• 适应动态环境：算法需要能够快速检测环境变化并做出响应，以保证在动态环境中保持良好的优化性能。

性能评估

• 实验结果：该算法在多个动态多目标优化测试问题上进行了实验评估，与几种先进的动态多目标优化算法进行对比。结果表明，在大多数测试问题上，该算法能够有效地跟踪POS的变化，具有较好的收敛性和多样性。
• 优势与不足：其优势在于能够充分利用历史信息，通过SVR模型的预测能力快速生成高质量的初始种群，从而在动态环境中保持较好的优化性能。然而，该算法在某些特定类型的DMOPs上可能效果不佳，例如当环境变化剧烈或目标函数之间的关系复杂时，SVR模型的预测精度可能会受到影响。

参考文献

[1] Cao L , Xu L , Goodman E D ,et al.Evolutionary Dynamic Multiobjective Optimization Assisted by a Support Vector Regression Predictor[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 2019, PP(99):1-1.DOI:10.1109/TEVC.2019.2925722.

二、MOEA/D-SVR求解DF1-DF14

（1）CEC2018 动态多目标测试函数介绍

CEC2018 竞赛定义了 14 个动态多目标测试函数（DF1-DF14），分为两类：

1. 双目标问题（DF1-DF9）：这些函数具有两个目标，用于测试算法在动态环境下的性能。
2. 三目标问题（DF10-DF14）：这些函数具有三个目标，增加了优化的复杂性。

这些测试函数设计了不同的动态特性，以评估动态多目标优化算法的性能。动态特性包括：

• 目标位置变化：Pareto 最优前沿（PF）或 Pareto 最优解集（PS）的位置随时间变化。
• 约束条件变化：动态约束条件的引入或变化。
• 目标数量或决策变量数量变化：在某些测试函数中，目标数量或决策变量数量可能随时间变化。

测试函数	目标数量	动态特性
DF1	2	PF 的位置随时间线性移动
DF2	2	PF 的位置随时间非线性移动
DF3	2	PF 的位置和形状随时间变化
DF4	2	PF 的位置和形状随时间剧烈变化
DF5	2	PF 的凸性随时间变化
DF6	2	PF 的凹性随时间变化，并引入局部最优解
DF7	2	PF 的不同部分以不同方向和速度移动
DF8	2	PF 的不同部分以不同方向和速度移动，且存在多个膝点
DF9	2	PF 断裂成多个部分
DF10	3	PF 的位置随时间移动
DF11	3	PF 的位置和形状随时间变化
DF12	3	PF 的位置和形状随时间剧烈变化
DF13	3	PF 的凸性随时间变化
DF14	3	PF 的凹性随时间变化，并引入局部最优解

参考文献：
[1] Jiang S , Yang S , Yao X ,et al.Benchmark Functions for the CEC’2018 Competition on Dynamic Multiobjective Optimization[J]. 2018.

（2）部分MATLAB代码

%% 计算POF
for i=1:size(ArchiveResult{1,1}{1,1},1)/(10*nt*taut)k1=1+(i-1)*(10*nt*taut);k2=k1+nt*taut;if prob_ids<110data=ArchiveResult{1,1}{1,1}(k1:k2,end-1:end);elsedata=ArchiveResult{1,1}{1,1}(k1:k2,end-2:end);endresult(i).data=data;%     plot(data(:,1)+i,data(:,2)+i,'ro')%     hold on
end
%% 计算TurePOF
prob=problem(prob_ids);
k=1;
for t=0:1:100/taut-1PF(k).data=generatePF(prob,t);PF(k).t=t;k=k+1;
end%% 画图
figure
Fm=size(PF,2);
Tm=size(PF(1).data,2);
if Tm<3for t=1:Fmplot(result(t).data(:,1)+PF(t).t,result(t).data(:,2)+PF(t).t,'ro');hold onplot(PF(t).data(:,1)+PF(t).t,PF(t).data(:,2)+PF(t).t,'g.');endxlabel('f1+t')ylabel('f2+t')
elsefor t=1:Fmplot3(result(t).data(:,1)+PF(t).t,result(t).data(:,2)+PF(t).t,result(t).data(:,3)+PF(t).t,'ro');hold onplot3(PF(t).data(:,1)+PF(t).t,PF(t).data(:,2)+PF(t).t,PF(t).data(:,3)+PF(t).t,'g.');endxlabel('f1+t')ylabel('f2+t')zlabel('f3+t')
end
title(prob.name)

（3）部分结果

环境变量：$n_t$ =10, ${\tau }_t$ =10

DF2：

DF3：

DF7：

三、完整MATLAB见下方名片