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阈值分割

阈值分割法是一种传统的图像分割方法, 因其实现简单、计算量小、性能较稳定而成为图像分割中最基本和应用最广泛的分割技术。阈值分割法的基本原理是：通过设定不同的特征阈值, 把图像像素点分为具有不同灰度级的目标区域和背景区域的若干类。它特别适用于目标和背景占据不同灰度级范围的图像，已被应用于很多领域，其中阈值的选取是图像阈值分割方法中的关键技术

阈值选取方法

1. 最大类间方差法(OTSU法)
2. 基于最大熵的阈值分割法
3. 迭代阈值分割法

OTSU法

OTSU法，又称最大类间方差法，是目前公认的，对阈值分割选择相对理，且分割效果良好的办法。其理论依据为:按照图像的灰度特性，将图像分为背景和物体两部分(二值化)，通过计算得到一个阈值，该阈值满足：使背景和物体的像素差异最大，即类间方差最大。

OTSU的基本思想：设定分割阈值，将像素f(a, b)分为对象和背景二类；通过最大化类间方差并最小化类内方差得到目标阈值。

假设一副大小为 M$\times$N 图像的像素分为 L 个灰度级{0,1,2,…,L-1}，$n_i$为灰度级i的像素个数，则像素总数公式为：

$$M\times N=n_0+n_1+n_2+...+n_{L-1}$$
灰度级的概率为：

$$P_i=\frac{n_i}{MN}$$

其中，概率满足 $$\sum _{i=0}^{L-1}{P}_i=1$$ 且 $p_i\ge 0$ 。若目标阈值为 k，将所有像素分为灰度值为 [0,k] 的背景类 $C_1$ 和 [k+1,L-1] 的对象类 $C_2$ 。$P_1(k)$ 和 $P_2(k)$ 为 $C_1$ 和 $C_2$ 中的概率，可由式(3)(4)计算得到：

$$P_1(k)=\sum _{i=0}^k{P}_i$$

$$P_2(k)=\sum _{i=k+1}^{L-1}{P}_i=1-P_1(k)$$

其中 $m_1(k)$ 和 $m_2(k)$ 分别为 $C_1$ 和 $C_2$ 像素的灰度平均值，可由式(5)(6)计算得到：
$$m_1(k)=\sum _{i=0}^{k}ip(i|C_1)=\frac{1}{P_1(k)}\sum _{i=0}^{k}i{p}_i$$

$$m_2(k)=\sum _{i=k+1}^{L-1}ip(i|C_2)=\frac{1}{P_2(k)}\sum _{i=k+1}^{L-1}i{p}_i$$

$m_G$ 为图像的平均灰度值，$\theta$ 为类间平方差，可有式(7)计算得到：
$$\theta =P_1(k){(m_1(k)-m_G)}^2+P_2(k){(m_2(k)-m_G)}^2=P_1(k)P_2(k){(m_1(k)-m_2(k))}^2$$
由式(7)可得式(8)：
$$\theta (T)=\underset{0\le k\le L-1}{\max }\theta (k)$$
其中，T即为目标阈值，输入图像就可以按照阈值T进行分割，式(9)：

最大熵阈值分割

由于 OTSU 在分割图像时只考虑将背景和对象分割最大化，而忽略了边缘和弱对象等信息，故此方法提出与最大熵分割相结合，使分割时能够将对象最大化分割的同时保留更多信息。最大熵原理求阈值与 OTSU 类似，OTSU 是求取最佳阈值将图像分为对象和背景求取最大方差，最大熵是求取最佳阈值使对象和背景两个部分熵之和最大。熵的公式为：
$$H(I)=\sum _{u,v}p(I(u,v))\cdot {\log }_b(\frac{1}{p(I(u,v))})=-\sum _{u,v}p(g)\cdot {\log }_b(p(g))$$
约束条件为${\sum }_{i=0}^{L-1}{P}_i=1,P_i\ge 0,P_n={\sum }_{i=0}^t{P}_i$ ，b 取常数2，$I(u,v)$ 为灰度值，假设阈值为 t，A 为 {0,1,2,…,t} 的灰度分布，B 为{t+1,t+2,…,L-1} 的灰度分布，则两个概率密度相关的熵分别为 H(A) 和 H(B)，由式(10)计算得：
$$H(A)=-\sum _{i=0}^t\frac{P_i}{P_n}\ln \frac{P_i}{P_n}$$

$$H(B)=-\sum _{i=t+1}^{L-1}\frac{P_i}{1-P_n}\ln \frac{P_i}{1-P_n}$$

定义函数 $\phi (t)$ 为 H(A) 和 H(B) 的和：
$$\phi (t)=H(A)+H(B)$$
则最佳阈值为：
$$t={\arg }_t\max \phi (t)=-\sum _{i=0}^t\frac{P_i}{P_n}\ln \frac{P_i}{P_n}-\sum _{i=t+1}^{L-1}\frac{P_i}{1-P_n}\ln \frac{P_i}{1-P_n}$$

基于迭代的阈值分割

迭代法选择初始的估计阈值，按照某种原则，通过迭代不断改变这一估值，直到满足给定的准则为止。迭代法实现了在实际处理中，图像之间有较大变化时，对每一幅图片进行自动估值阈值，达到良好分割效果。

统计图像灰度直方图，求出图像的最大灰度和最小灰度值，分别记为 $Z_{max}$ 和 $Z_{min}$ ,令初始阈值：
$$T_0=\frac{Z_{max}+Z_{min}}{2}$$
根据阈值$T_k$ 将图像分割为前景和背景，计算小于 $T_0$ 所有灰度的均值 $Z_0$ 和大于 $T_0$ 的所有灰度的均值 $Z_B$ ，求出新阈值：
$$T_{k+1}=\frac{Z_0+Z_B}{2}$$
若 $T_k=T_{k+1}$ 则所得即为阈值，否则转(15)进行迭代计算，直到求出最佳阈值。