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设有两个圆凸内接四边形 A B Q D ABQD ABQD 和 B P Q C BPQC BPQC, 在线段 P Q PQ PQ 上存在一点 E E E, 使得, ∠ E A P = ∠ E D Q \angle EAP=\angle EDQ ∠EAP=∠EDQ, ∠ E B P = ∠ E C Q \angle EBP=\angle ECQ ∠EBP=∠ECQ. 求证: A A A, B B B, C C C, D D D 四点共圆.
证明:
设 B C BC BC, P Q PQ PQ 交于 I I I. 设直线 B P BP BP 和 C Q CQ CQ 交于点 J J J.
P I / Q I = C Q / C J ⋅ B J / P B = B J / C J ⋅ C Q / P B PI/ QI=CQ/CJ \cdot BJ/PB = BJ/CJ \cdot CQ/PB PI/QI=CQ/CJ⋅BJ/PB=BJ/CJ⋅CQ/PB
显然 △ J B Q ∼ △ J C P \triangle JBQ \sim \triangle JCP △JBQ∼△JCP
B J / C J = B Q / C P BJ/CJ=BQ/CP BJ/CJ=BQ/CP
P I / Q I = B Q / C P ⋅ C Q / P B = B Q / B P ⋅ C Q / C P PI/ QI=BQ/CP \cdot CQ/PB=BQ/BP \cdot CQ/CP PI/QI=BQ/CP⋅CQ/PB=BQ/BP⋅CQ/CP
B Q / B P = S △ B Q E / S △ B P E ⋅ sin ∠ E B Q / sin ∠ E B P = E Q / E P ⋅ sin ∠ E B Q / sin ∠ E B P BQ/BP=S_{\triangle BQE}/S_{\triangle BPE} \cdot \sin \angle EBQ/\sin \angle EBP=EQ/EP \cdot \sin \angle EBQ/\sin \angle EBP BQ/BP=S△BQE/S△BPE⋅sin∠EBQ/sin∠EBP=EQ/EP⋅sin∠EBQ/sin∠EBP
类似地, 可知 C Q / C P = E Q / E P ⋅ sin P C E / sin ∠ Q C E CQ/CP= EQ/EP \cdot \sin PCE/\sin \angle QCE CQ/CP=EQ/EP⋅sinPCE/sin∠QCE.
代入得, P I / Q I = ( E Q / E P ) 2 PI/ QI=(EQ/EP)^2 PI/QI=(EQ/EP)2
设 A D AD AD, P Q PQ PQ 交于 I ′ I' I′, 可类似地求出 P I ′ / Q I ′ = ( E Q / E P ) 2 PI'/ QI'=(EQ/EP)^2 PI′/QI′=(EQ/EP)2, 因此 I I I 和 I ′ I' I′ 重合
I B ⋅ I C = I P ⋅ I Q = I A ⋅ I D IB \cdot IC=IP \cdot IQ=IA \cdot ID IB⋅IC=IP⋅IQ=IA⋅ID, 因此 A A A, B B B, C C C, D D D 四点共圆.
证毕.
拓展, 延长 E P EP EP, E L EL EL, 分别交 ( J P Q ) (JPQ) (JPQ) 于点 K K K, L L L. 则 K L / / P Q KL//PQ KL//PQ. 证明略.
整理时间: 2024年11月30日.