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前言

• 这个专栏将会用纯C实现常用的数据结构和简单的算法；
• 有C基础即可跟着学习，代码均可运行；
• 准备考研的也可跟着写，个人感觉，如果时间充裕，手写一遍比看书、刷题管用很多，这也是本人采用纯C语言实现的原因之一；
• 欢迎收藏 + 关注，本人将会持续更新。

树相关概念

什么是二叉树

二叉树定义

二叉树是n (n≥0)个结点的有限集合。

• 每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
• 左子节点和右子节点可以为空。
• 二叉树的子树也是二叉树。

基本概念

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度
• 叶节点：度为0的节点称为叶节点
• 分支节点：度不为0的节点，又称为非终端节点
• 父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点，又称为双亲结点
• 子节点：一个节点含有的子树的根结点称为该节点的子节点，又称为孩子节点
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度
• 节点的层次：从根节点开始定义，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次
• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙

基本形态

二叉树性质

性质1

二叉树第k (k>=1)层上至多有2^k–1个结点。

思考题

若二叉树具有第k层的结点，那么第k层结点数的取值范围是多少？[1, 2^k-1]

性质2

高度为h (h>=0)的二叉树至多有2^h - 1个结点

思考题

高度为h的二叉树的结点数范围？

证明：高度为h的二叉树共有h层，第k层节点数范围为[1, 2^k-1] ，故可知，高度为h的二叉树至少具有：${\sum }_{k=1}^{h}1=h$个节点；高度为h的二叉树至多具有${\sum }_{k=1}^h{2}^{k-1}=2^0+2^1+...+2^{h-1}=2^h-1$
$$\sum _{k=1}^h{2}^{k-1}=2^0+2^1+...+2^{h-1}=2^h-1$$

性质3

设二叉树叶子结点数为n₀，度为2的结点数为n₂，则有：n₀= n₂+ 1。

性质4

结点数为n的完全二叉树的高度为：${\log }_{2}n$ + 1或${\log }_2(n＋1)$

性质五

给有n个结点的完全二叉树按层次编号，对于编号为i的结点：

• 可计算i结点的双亲结点的编号
  • 若i = 1，则无双亲
  • 否则双亲编号为 $\frac{i}{2}$
• 可计算i结点的左孩子结点的编号
  • 若2*i > n，则无左孩子
  • 否则其左孩子编号为2*i
• 可计算i结点的右孩子结点的编号
  • 若2*i+1> n，则无右孩子
  • 否则其右孩子编号为2*i+1

特殊二叉树

满二叉树

• 深度为h且具有2^h-1个结点的二叉树
• 每一层都容纳了该层所能容纳的最大结点数结点的二叉树
• 没有度数为1的结点，且叶子结点均分布在最大层的二叉树

思考题

深度为h的满二叉树

• 结点总数为？ 2^h - 1
• 叶子结点数为？ 2^h-1
• 度为1的结点数为？0
• 度为2的结点数为？2^h-1-1

具有n个结点的满二叉树

• 有多少个叶子？(n + 1) / 2
• 有多少个度为2的结点？(n - 1) / 2

完全二叉树

• 除去最大层是一棵满二叉树
• 除去最大层是一棵满二叉树

完全二叉树的几个非常有趣的特点：

• 除去最大层是一棵满二叉树
• 最大层上的结点向左充满
• 叶子只可能分布在最大层和次大层上。
• 度为1的结点至多有1个。
• 一棵满二叉树一定是一棵完全二叉树，而一棵完全二叉树不一定是一棵满二叉树。
• 对于具有相同结点数的二叉树而言，完全二叉树的高度一定是其中最小的

思考题

高度为h的完全二叉树的结点范围？[ 2^k-1, 2^k-1]

具有n个结点的二叉树的高度最小值为多少？高度最大值为多少？ [ ${\log }_{2}n$+1, n]

• 完全二叉树最小：${\log }_{2}n$+1
• 一层只有一个结点最大：n

二叉树创建与遍历

树创建

节点封装，二叉树，封装就需要封装两个孩子

typedef struct TreeNode {char data;struct TreeNode* LChild;struct TreeNode* RChild;
}TreeNode;TreeNode* create_node(char data)
{TreeNode* new_node = (TreeNode*)calloc(1, sizeof(TreeNode));assert(new_node);new_node->data = data;return new_node;
}

🚸 创建，这里采用“最傻瓜式”创建，如下代码所示：

// 傻瓜式建立树
void create_tree(TreeNode* parent, TreeNode* lChild, TreeNode* rChild)
{// 父亲不为 NULL 即可assert(parent);parent->LChild = lChild;parent->RChild = rChild;
}// 创建如下：
int main()
{// 一个一个创建节点TreeNode* a = create_node('a');   TreeNode* c = create_node('c');TreeNode* d = create_node('d');TreeNode* s = create_node('s');TreeNode* h = create_node('h');TreeNode* e = create_node('e');TreeNode* b = create_node('b');TreeNode* v = create_node('v');TreeNode* m = create_node('m');// 连接create_tree(a, c, d);   // a为跟节点create_tree(c, s, h);create_tree(d, e, b);create_tree(s, NULL, v);create_tree(h, NULL, NULL);create_tree(e, m, NULL);create_tree(b, NULL, NULL);return 0;
}

树遍历

前序

遍历顺序：左中右，动画如下所示(ppt制作)：

递归

// 递归前序
void preorder_recursion(TreeNode* root)
{if (root == NULL) {printf("NULL ");return;}printf("%c ", root->data);preorder_recursion(root->LChild);preorder_recursion(root->RChild);
}

非递归

借助栈辅助

// 迭代前序遍历
// 注意一点：节点入栈顺序，与出栈顺序
void preorder_travel(TreeNode* root)
{assert(root);// 准备栈TreeNode* stack[1024] = { 0 };int top = -1;stack[++top] = root;while (top != -1) {TreeNode* temp = stack[top];top--;printf("%c ", temp->data);if (temp->RChild != NULL) stack[++top] = temp->RChild;if (temp->LChild != NULL) stack[++top] = temp->LChild;}
}

中序

遍历顺序：中左右

递归

// 递归中序
void mid_recursion(TreeNode* root)
{if (root == NULL) {printf("NULL ");return;}mid_recursion(root->LChild);printf("%c ", root->data);mid_recursion(root->RChild);
}

非递归

要注意：还有一个指针跟着栈走

// 中序，回退靠栈
// 核心：cur与栈配合，维护cur指针
void mid_travel(TreeNode* root)
{assert(root);TreeNode* stack[1024] = { 0 };int top = -1;TreeNode* cur = root;while (cur != NULL || top != -1) {if (cur != NULL) {stack[++top] = cur;cur = cur->LChild;}else {TreeNode* t = stack[top];top--;printf("%c ", t->data);cur = t->RChild;}}
}

后序

遍历顺序：左右中

递归

// 递归后序
void last_recursion(TreeNode* root)
{if (root == NULL) {printf("NULL ");return;}last_recursion(root->LChild);last_recursion(root->RChild);printf("%c ", root->data);
}

非递归

和前序遍历一样，维护一个栈

// 后序
// 核心：pre指针、cur指针，以及什么时候pre 与 cur指针相遇，以及为什么弹出后cur = NULL，pre = cur；
// 动画：想清楚如果一个节点要打印，则情况是什么，pre一直在模拟左、右、中节点
void last_travel(TreeNode* root)
{assert(root);TreeNode* stack[1024] = { 0 };int top = -1;TreeNode* used = NULL;TreeNode* cur = root;while (cur != NULL || top != -1) {while (cur) {stack[++top] = cur;cur = cur->LChild;}cur = stack[top];if (cur->RChild == NULL || cur->RChild == used) {printf("%c ", cur->data);top--;used = cur;cur = NULL;}else {cur = cur->RChild;}}
}

总代码

#include <stdio.h>
#include <assert.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>typedef struct TreeNode {char data;struct TreeNode* LChild;struct TreeNode* RChild;
}TreeNode;TreeNode* create_node(char data)
{TreeNode* new_node = (TreeNode*)calloc(1, sizeof(TreeNode));assert(new_node);new_node->data = data;return new_node;
}// 傻瓜式建立树
void create_tree(TreeNode* parent, TreeNode* lChild, TreeNode* rChild)
{// 父亲不为 NULL 即可assert(parent);parent->LChild = lChild;parent->RChild = rChild;
}// 递归前序
void preorder_recursion(TreeNode* root)
{if (root == NULL) {printf("NULL ");return;}printf("%c ", root->data);preorder_recursion(root->LChild);preorder_recursion(root->RChild);
}// 递归中序
void mid_recursion(TreeNode* root)
{if (root == NULL) {printf("NULL ");return;}mid_recursion(root->LChild);printf("%c ", root->data);mid_recursion(root->RChild);
}// 递归后序
void last_recursion(TreeNode* root)
{if (root == NULL) {printf("NULL ");return;}last_recursion(root->LChild);last_recursion(root->RChild);printf("%c ", root->data);
}// 迭代前序遍历
// 注意一点：节点入栈顺序，与出栈顺序
void preorder_travel(TreeNode* root)
{assert(root);// 准备栈TreeNode* stack[1024] = { 0 };int top = -1;stack[++top] = root;while (top != -1) {TreeNode* temp = stack[top];top--;printf("%c ", temp->data);if (temp->RChild != NULL) stack[++top] = temp->RChild;if (temp->LChild != NULL) stack[++top] = temp->LChild;}
}// 中序，回退靠栈
// 核心：cur与栈配合，维护cur指针
void mid_travel(TreeNode* root)
{assert(root);TreeNode* stack[1024] = { 0 };int top = -1;TreeNode* cur = root;while (cur != NULL || top != -1) {if (cur != NULL) {stack[++top] = cur;cur = cur->LChild;}else {TreeNode* t = stack[top];top--;printf("%c ", t->data);cur = t->RChild;}}
}// 后序
// 核心：pre指针、cur指针，以及什么时候pre 与 cur指针相遇，以及为什么弹出后cur = NULL，pre = cur；
// 动画：想清楚如果一个节点要打印，则情况是什么，pre一直在模拟左、右、中节点
void last_travel(TreeNode* root)
{assert(root);TreeNode* stack[1024] = { 0 };int top = -1;TreeNode* used = NULL;TreeNode* cur = root;while (cur != NULL || top != -1) {while (cur) {stack[++top] = cur;cur = cur->LChild;}cur = stack[top];if (cur->RChild == NULL || cur->RChild == used) {printf("%c ", cur->data);top--;used = cur;cur = NULL;}else {cur = cur->RChild;}}
}int main()
{// 一个一个创建节点TreeNode* a = create_node('a');   TreeNode* c = create_node('c');TreeNode* d = create_node('d');TreeNode* s = create_node('s');TreeNode* h = create_node('h');TreeNode* e = create_node('e');TreeNode* b = create_node('b');TreeNode* v = create_node('v');TreeNode* m = create_node('m');// 连接create_tree(a, c, d);   // a为跟节点create_tree(c, s, h);create_tree(d, e, b);create_tree(s, NULL, v);create_tree(h, NULL, NULL);create_tree(e, m, NULL);create_tree(b, NULL, NULL);printf("递归前序: \n");preorder_recursion(a);    printf("\n递归中序: \n");mid_recursion(a);printf("\n递归后序: \n");last_recursion(a);printf("\n迭代前序: \n");preorder_travel(a);printf("\n迭代中序: \n");mid_travel(a);printf("\n迭代后序: \n");last_travel(a);return 0;
}