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41.基数排序法

说明在之前所介绍过的排序方法，都是属于「比较性」的排序法，也就是每次排序时 ，都是比较整个键值的大小以进行排序。
这边所要介绍的「基数排序法」（radix sort）则是属于「分配式排序」（distribution sort），基数排序法又称「桶子法」（bucket sort）或bin sort，顾名思义，它是透过键值的部份资讯，将要排序的元素分配至某些「桶」中，藉以达到排序的作用，基数排序法是属于稳定性的排序，其时间复杂度为O (nlog®m)，其中r为所采取的基数，而m为堆数，在某些时候，基数排序法的效率高于其它的比较性排序法。
解法基数排序的方式可以采用LSD（Least sgnificant digital）或MSD（Most sgnificant digital），LSD的排序方式由键值的最右边开始，而MSD则相反，由键值的最左边开始。
以LSD为例，假设原来有一串数值如下所示：
73, 22, 93, 43, 55, 14, 28, 65, 39, 81
首先根据个位数的数值，在走访数值时将它们分配至编号0到9的桶子中：

接下来将这些桶子中的数值重新串接起来，成为以下的数列：
81, 22, 73, 93, 43, 14, 55, 65, 28, 39
接着再进行一次分配，这次是根据十位数来分配：

接下来将这些桶子中的数值重新串接起来，成为以下的数列：
14, 22, 28, 39, 43, 55, 65, 73, 81, 93
这时候整个数列已经排序完毕；如果排序的对象有三位数以上，则持续进行以上的动作直至最高位数为止。
LSD的基数排序适用于位数小的数列，如果位数多的话，使用MSD的效率会比较好，MSD的方式恰与LSD相反，是由高位数为基底开始进行分配，其他的演 算方式则都相同。

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> int main(void) { int data[10] = {73, 22, 93, 43, 55, 14, 28, 65, 39, 81}; int temp[10][10] = {0}; int order[10] = {0}; int i, j, k, n, lsd; k = 0; n = 1; printf("\n排序前: "); for(i = 0; i < 10; i++) printf("%d ", data[i]); putchar('\n'); while(n <= 10) { for(i = 0; i < 10; i++) { lsd = ((data[i] / n) % 10); temp[lsd][order[lsd]] = data[i]; order[lsd]++; } printf("\n重新排列: "); for(i = 0; i < 10; i++) { if(order[i] != 0) for(j = 0; j < order[i]; j++) { data[k] = temp[i][j]; printf("%d ", data[k]); k++; } order[i] = 0; } n *= 10; k = 0; } putchar('\n'); printf("\n排序后: "); for(i = 0; i < 10; i++) printf("%d ", data[i]); return 0; 
} 

42.循序搜寻法（使用卫兵）

说明
搜寻的目的，是在「已排序的资料」中寻找指定的资料，而当中循序搜寻是最基本的搜寻法，只要从资料开头寻找到最后，看看是否找到资料即可。
解法
初学者看到循序搜寻，多数都会使用以下的方式来进行搜寻：

while(i < MAX) { if(number[i] == k) { printf("找到指定值"); break; } i++; 
} 

这个方法基本上没有错，但是可以加以改善，可以利用设定卫兵的方式，省去if判断式，卫兵通常设定在数列最后或是最前方，假设设定在列前方好了（索引0的 位置），我们从数列后方向前找，如果找到指定的资料时，其索引值不是0，表示在数列走访完之前就找到了，在程式的撰写上，只要使用一个while回圈就可 以了。

下面的程式为了配合卫兵的设置，自行使用快速排序法先将产生的数列排序，然后才进行搜寻，若只是数字的话，通常您可以使用程式语言函式库所提供的搜寻函式。

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#include <time.h> 
#define MAX 10 
#define SWAP(x,y) {int t; t = x; x = y; y = t;} int search(int[]); 
int partition(int[], int, int); 
void quicksort(int[], int, int); int main(void) { int number[MAX+1] = {0}; int i, find; srand(time(NULL)); for(i = 1; i <= MAX; i++) number[i] = rand() % 100; quicksort(number, 1, MAX); printf("数列："); for(i = 1; i <= MAX; i++) printf("%d ", number[i]); printf("\n输入搜寻值："); scanf("%d", &number[0]); if(find = search(number)) printf("\n找到数值于索引 %d ", find); else printf("\n找不到数值"); printf("\n"); return 0; 
} int search(int number[]) { int i, k; k = number[0]; i = MAX; while(number[i] != k) i--; return i; 
} int partition(int number[], int left, int right) { int i, j, s; s = number[right]; i = left - 1; for(j = left; j < right; j++) { if(number[j] <= s) { i++; SWAP(number[i], number[j]); } } SWAP(number[i+1], number[right]); return i+1; 
} void quicksort(int number[], int left, int right) { int q; if(left < right) { q = partition(number, left, right); quicksort(number, left, q-1); quicksort(number, q+1, right); } 
} 

43.二分搜寻法（搜寻原则的代表）

说明如果搜寻的数列已经有排序，应该尽量利用它们已排序的特性，以减少搜寻比对的次数，这是搜寻的基本原则，二分搜寻法是这个基本原则的代表。
解法在二分搜寻法中，从数列的中间开始搜寻，如果这个数小于我们所搜寻的数，由于数列已排序，则该数左边的数一定都小于要搜寻的对象，所以无需浪费时间在左边的数；如果搜寻的数大于所搜寻的对象，则右边的数无需再搜寻，直接搜寻左边的数。

所以在二分搜寻法中，将数列不断的分为两个部份，每次从分割的部份中取中间数比对，例如要搜寻92于以下的数列，首先中间数索引为(0+9)/2 = 4（索引由0开始）：
[3 24 57 57 67 68 83 90 92 95]

由于67小于92，所以转搜寻右边的数列：
3 24 57 57 67 [68 83 90 92 95]
由于90小于92，再搜寻右边的数列，这次就找到所要的数了：
3 24 57 57 67 68 83 90 [92 95]

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#include <time.h> 
#define MAX 10 
#define SWAP(x,y) {int t; t = x; x = y; y = t;} void quicksort(int[], int, int); 
int bisearch(int[], int); int main(void) { int number[MAX] = {0}; int i, find; srand(time(NULL)); for(i = 0; i < MAX; i++) { number[i] = rand() % 100; } quicksort(number, 0, MAX-1); printf("数列："); for(i = 0; i < MAX; i++) printf("%d ", number[i]); printf("\n输入寻找对象："); scanf("%d", &find); if((i = bisearch(number, find)) >= 0) printf("找到数字于索引 %d ", i); else printf("\n找不到指定数"); printf("\n"); return 0; 
} int bisearch(int number[], int find) { int low, mid, upper; low = 0; upper = MAX - 1; while(low <= upper) { mid = (low+upper) / 2; if(number[mid] < find) low = mid+1; else if(number[mid] > find) upper = mid - 1; else return mid; } return -1; 
} void quicksort(int number[], int left, int right) { int i, j, k, s; if(left < right) { s = number[(left+right)/2]; i = left - 1; j = right + 1; while(1) { while(number[++i] < s) ;  // 向右找 while(number[--j] > s) ;  // 向左找 if(i >= j) break; SWAP(number[i], number[j]); } quicksort(number, left, i-1);   // 对左边进行递回 quicksort(number, j+1, right);  // 对右边进行递回 } 
} 

44.插补搜寻法

说明
如果却搜寻的资料分布平均的话，可以使用插补（Interpolation）搜寻法来进行搜寻，在搜寻的对象大于500时，插补搜寻法会比 二分搜寻法 来的快速。
解法
插补搜寻法是以资料分布的近似直线来作比例运算，以求出中间的索引并进行资料比对，如果取出的值小于要寻找的值，则提高下界，如果取出的值大于要寻找的 值，则降低下界，如此不断的减少搜寻的范围，所以其本原则与二分搜寻法是相同的，至于中间值的寻找是透过比例运算，如下所示，其中K是指定要寻找的对象， 而m则是可能的索引值：

 #include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#include <time.h> 
#define MAX 10 
#define SWAP(x,y) {int t; t = x; x = y; y = t;} void quicksort(int[], int, int); 
int intsrch(int[], int); int main(void) { int number[MAX] = {0}; int i, find; srand(time(NULL)); for(i = 0; i < MAX; i++) { number[i] = rand() % 100; } quicksort(number, 0, MAX-1); printf("数列："); for(i = 0; i < MAX; i++) printf("%d ", number[i]); printf("\n输入寻找对象："); scanf("%d", &find); if((i = intsrch(number, find)) >= 0) printf("找到数字于索引 %d ", i); else printf("\n找不到指定数"); printf("\n"); return 0; 
} int intsrch(int number[], int find) { int low, mid, upper; low = 0; upper = MAX - 1; while(low <= upper) { mid = (upper-low)* (find-number[low])/(number[upper]-number[low]) + low; if(mid < low || mid > upper) return -1; if(find < number[mid]) upper = mid - 1; else if(find > number[mid]) low = mid + 1; else return mid; } return -1;
} void quicksort(int number[], int left, int right) { int i, j, k, s; if(left < right) { s = number[(left+right)/2]; i = left - 1; j = right + 1; while(1) { while(number[++i] < s) ;  // 向右找 while(number[--j] > s) ;  // 向左找 if(i >= j) break; SWAP(number[i], number[j]); } quicksort(number, left, i-1);   // 对左边进行递回 quicksort(number, j+1, right);  // 对右边进行递回 } 
} 

45.费氏搜寻法

说明
二分搜寻法每次搜寻时，都会将搜寻区间分为一半，所以其搜寻时间为O(log(2)n)，log(2)表示以2为底的log值，这边要介绍的费氏搜寻，其利用费氏数列作为间隔来搜寻下一个数，所以区间收敛的速度更快，搜寻时间为O(logn)。
解法
费氏搜寻使用费氏数列来决定下一个数的搜寻位置，所以必须先制作费氏数列，这在之前有提过；费氏搜寻会先透过公式计算求出第一个要搜寻数的位置，以及其代 表的费氏数，以搜寻对象10个数字来说，第一个费氏数经计算后一定是F5，而第一个要搜寻的位置有两个可能，例如若在下面的数列搜寻的话（为了计算方便， 通常会将索引0订作无限小的数，而数列由索引1开始）：

-infin; 1 3 5 7 9 13 15 17 19 20

如果要搜寻5的话，则由索引F5 = 5开始搜寻，接下来如果数列中的数小于指定搜寻值时，就往左找，大于时就向右，每次找的间隔是F4、F3、F2来寻找，当费氏数为0时还没找到，就表示寻找失败，如下所示：

由于第一个搜寻值索引F5 = 5处的值小于19，所以此时必须对齐数列右方，也就是将第一个搜寻值的索引改为F5+2 = 7，然后如同上述的方式进行搜寻，如下所示：

至于第一个搜寻值是如何找到的？我们可以由以下这个公式来求得，其中n为搜寻对象的个数：
Fx + m = n
Fx <= n

也就是说Fx必须找到不大于n的费氏数，以10个搜寻对象来说：
Fx + m = 10

取Fx = 8, m = 2，所以我们可以对照费氏数列得x = 6，然而第一个数的可能位置之一并不是F6，而是第x-1的费氏数，也就是F5 = 5。

如果数列number在索引5处的值小于指定的搜寻值，则第一个搜寻位置就是索引5的位置，如果大于指定的搜寻值，则第一个搜寻位置必须加上m，也就是F5 + m = 5 + 2 = 7，也就是索引7的位置，其实加上m的原因，是为了要让下一个搜寻值刚好是数列的最后一个位置。

费氏搜寻看来难懂，但只要掌握Fx + m = n这个公式，自己找几个实例算一次，很容易就可以理解；费氏搜寻除了收敛快速之外，由于其本身只会使用到加法与减法，在运算上也可以加快。

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#include <time.h> 
#define MAX 15 
#define SWAP(x,y) {int t; t = x; x = y; y = t;} void createfib(void);     // 建立费氏数列 
int findx(int, int);          // 找x值 
int fibsearch(int[], int);  // 费氏搜寻 
void quicksort(int[], int, int);  // 快速排序 int Fib[MAX] = {-999}; int main(void) { int number[MAX] = {0}; int i, find; srand(time(NULL)); for(i = 1; i <= MAX; i++) { number[i] = rand() % 100; } quicksort(number, 1, MAX); printf("数列："); for(i = 1; i <= MAX; i++) printf("%d ", number[i]); printf("\n输入寻找对象："); scanf("%d", &find); if((i = fibsearch(number, find)) >= 0) printf("找到数字于索引 %d ", i); else printf("\n找不到指定数"); printf("\n"); return 0; 
} // 建立费氏数列 
void createfib(void) { int i; Fib[0] = 0; Fib[1] = 1; for(i = 2; i < MAX; i++) Fib[i] = Fib[i-1] + Fib[i-2]; 
} // 找 x 值 
int findx(int n, int find) { int i = 0; while(Fib[i] <= n) i++; i--; return i; 
} // 费式搜寻 
int fibsearch(int number[], int find) { int i, x, m; createfib(); x  = findx(MAX+1,find); m = MAX - Fib[x]; printf("\nx = %d, m = %d, Fib[x] = %d\n\n", x, m, Fib[x]); x--; i = x; if(number[i] < find) i += m; while(Fib[x] > 0) { if(number[i] < find) i += Fib[--x]; else if(number[i] > find) i -= Fib[--x]; else return i; } return -1; 
} void quicksort(int number[], int left, int right) { int i, j, k, s; if(left < right) { s = number[(left+right)/2]; i = left - 1; j = right + 1; while(1) { while(number[++i] < s) ;  // 向右找 while(number[--j] > s) ;  // 向左找 if(i >= j) break; SWAP(number[i], number[j]); } quicksort(number, left, i-1);   // 对左边进行递回 quicksort(number, j+1, right);  // 对右边进行递回 } 
} 

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