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简单的Hash函数介绍

在进入Merkle树之前，先简单地介绍一下哈希函数。假设有下面的哈希函数：

$$value=Hash(value_1,value_2)$$
其中， $value$是一个定长的数值，作为输入 $value_1$和 $value_2$的哈希值。 $value$的特点是，如果 $value_1$或者 $value_2$中有一个值发生了变化，那么它的数值将会与原来完全不一致，而且这种不一致的变化是没有任何规律可言的。同时，我们也不可能根据 $value$的值反推出 $value_1$和 $value_2$的数值。哈希函数的特点保证了对于任意的两个输入组合，都有唯一的输出数值与之对应，这个特性可以用于校验输入函数参数的性质。

Merkle树的基本架构

Merkle树一般是一个满二叉树，当然，某些情况下也可以是$k$叉的。一棵Merkle树的结构如下：

红色的是根结点，灰色的是非叶子结点，黄色的是叶子结点。叶子结点的数值是直接根据数据块的值与0作为参数，经过Hash运算得来的，而灰色结点的值是以两个孩子结点的hash值作为输入，经过Hash运算得来的。

下面给出一棵简单的教程：

不过，这里的Hash函数与我们介绍的有一些差异。图片中使用了孩子结点哈希值之和作为输入，而我们不进行求和，直而是直接输入两个孩子结点的参数。把图中叶子结点的哈希函数改成：

$$M_i=H(0,m_i)$$
非叶子结点哈希函数改成：

$$M_{i,j}=H(M_i,M_j)$$
其中 $i,j$是该结点的两个孩子， $M_i,M_j$是两个孩子的哈希值。
如果出现需要处理的数据块是奇数个，只需要把这些数据块中的任意一个复制一份凑成偶数个就行，一般选择复制最后一个块。

综上可知，一棵Merkle树有如下特点：

1. 叶子结点的值是实际数据块的Hash值。
2. 每个非叶子结点的值，都是孩子结点的Hash值。根结点称为Merkle根
3. 如果树是二叉树的话，称为二叉Merkle树，且二叉Merkle树一定是满二叉树（奇数叶子凑成偶数个）

给出复杂度的一些性质：

Merkle树的优势

很自然的，我们会想到一个问题，为什么使用Merkle树，而不是直接把所有叶子结点经过一次Hash计算之后，直接给出结论？比如像上面的介绍图中，共有16个叶子结点，那么总共需要进行16次Hash运算即可：

$$M_0=H(0,m_0) \\ M_1=H(M_0,m_1)\\ M_2=H(M1,m_2) \\ \vdots \\ H_{15}=H(M_{14},m_{15})$$
用图表示为：

而如果使用Merkle树的话，会经过32次的哈希运算，这似乎与我们的常识不符合。

设想下面的一个场景：
A以上面的图片的形式给B发送了一个处理完的Hash数据，就是上面的那个红色Root数据。现在A同学要向B同学证明$M_6$的数据没有被更改过，那么A需要向B发送$M_6$到$M_{15}$的所有数据，B需要把这些数据重新进行Hash运算才可以验证数据的正确性。显然，上面操作的复杂度是$O(n)$。虽然在第一次加密的时候运算简单了，但是给后期验证带来计算的麻烦。而在实际的区块链中，系统进行验证的次数要远远多于加密运算，因此这不是一个好的方式。

然后我们再来看使用Merkle树的优势：

同样是进行$M_6$的数据验证，A仅需要给B发送图中蓝色的结点即可。在二叉树的情况下，它的计算复杂度仅仅是$O(\log_2{m})$， m m <script type="math/tex" id="MathJax-Element-3682">m</script>是数据块的个数，因此把验证数据的复杂度从线性时间降低到了对数时间。同时，由于验证数据集的简化，我们还可以节约出大量的内存空间。综上所述，我们使用Merkle树这种结构来组织区块链的有关数据。