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如是我闻： 让我们来用一个具体的例子说明 Batch Normalization 在 CNN 里的计算过程，特别是如何对每个通道（channel）进行归一化。

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1. 假设我们有一个 CNN 层的输出

假设某个 CNN 层的输出是一个 4D 张量，形状为：
$$X=(m,C,H,W)$$
其中：

• $m=2$（batch 大小 = 2，即有 2 张图片）
• $C=3$（通道数 = 3，比如 RGB 三个通道）
• $H=2,W=2$（特征图大小是 $2\times 2$）

现在，我们假设输入数据如下（仅展示一个通道的数据）：

$$X=\left[\begin{array}{cc}\text{样本 1:}& \left[\begin{array}{cc}[1,2]& [3,4]\\ [5,6]& [7,8]\end{array}\right]\\ \text{样本 2:}& \left[\begin{array}{cc}[2,3]& [4,5]\\ [6,7]& [8,9]\end{array}\right]\end{array}\right]$$

这个数据表示的是 一个 batch（2 张图片），每张图片有一个 $2\times 2$ 特征图。

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2. 计算均值和方差

(1) 计算均值

我们需要对所有样本的这个通道进行归一化，所以我们计算该通道在所有样本上的均值：

$${\mu }_B=\frac{1}{m\times H\times W}\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^H\sum _{k=1}^W{x}_{i,j,k}$$

代入数据：
$${\mu }_B=\frac{1}{2\times 2\times 2}(1+2+3+4+5+6+7+8+2+3+4+5+6+7+8+9)$$
$$=\frac{76}{8}=9.5$$

(2) 计算方差

方差的计算公式：
$${\sigma }_B^2=\frac{1}{m\times H\times W}\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^H\sum _{k=1}^W(x_{i,j,k}-{\mu }_B{)}^2$$

代入计算：
$${\sigma }_B^2=\frac{1}{8}\left((1-4.75{)}^2+(2-4.75{)}^2+(3-4.75{)}^2+(4-4.75{)}^2+\cdots +(9-4.75{)}^2\right)$$

$$=\frac{1}{8}\left(14.06+7.56+3.06+0.56+0.56+3.06+7.56+14.06\right)$$

$$=\frac{50.44}{8}=6.305$$

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3. 归一化数据

标准化公式：
$${\hat{x}}_{i,j,k}=\frac{x_{i,j,k}-{\mu }_B}{\sqrt{{\sigma }_B^2+ϵ}}$$

假设 $ϵ=10^{-5}$很小，可以忽略不计，那么：
$${\hat{x}}_{i,j,k}=\frac{x_{i,j,k}-4.75}{\sqrt{6.305}}$$

计算部分归一化的值（只展示部分）：
$${\hat{x}}_{1,1,1}=\frac{1-4.75}{\sqrt{6.305}}\approx \frac{-3.75}{2.51}\approx -1.49$$
$${\hat{x}}_{1,1,2}=\frac{2-4.75}{2.51}\approx -1.10$$
$${\hat{x}}_{2,2,2}=\frac{9-4.75}{2.51}\approx 1.70$$

经过这个过程，所有特征都会变成均值 0，方差 1。

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4. 通过可学习参数进行缩放和平移

为了让网络有更强的表达能力，BN 引入了两个可学习参数：
$$y_{i,j,k}=\gamma {\hat{x}}_{i,j,k}+\beta$$

• $\gamma$ 控制缩放（scale）。
• $\beta$ 控制偏移（shift）。

如果 $\gamma =2,\beta =0.5$，那么：
$$y_{1,1,1}=2\times (-1.49)+0.5=-2.48$$
$$y_{1,1,2}=2\times (-1.10)+0.5=-1.70$$
$$y_{2,2,2}=2\times (1.70)+0.5=3.90$$

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5. 结果解释

(1) 归一化后，所有数据均值接近 0，方差接近 1

• 这样可以稳定训练过程，防止梯度消失或梯度爆炸。

(2) 通过 $\gamma$ 和 $\beta$ 让网络恢复部分信息

• 这样可以确保 BN 不会限制网络的表达能力，同时还能优化训练。

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6. 总的来说

1. Batch Normalization 在 CNN 里是对每个通道单独归一化，而不是整个输入张量归一化。
2. 计算过程：
   • 计算当前 batch 每个通道的均值和方差。
   • 对该通道的所有数据进行归一化，使其均值为 0，方差为 1。
   • 通过可学习参数 $\gamma$ 和 $\beta$ 进行缩放和平移，使得网络仍然能够学习适应的特征分布。
3. 最终作用：
   • 减少 Internal Covariate Shift（内部协变量偏移）。
   • 加速收敛，提高稳定性。
   • 降低对超参数（如学习率、初始化）的依赖。

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以上