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一、说明

   以下文章介绍了用 C++ 计算和绘制的贝塞尔曲线（2D 和 3D）。
   贝塞尔曲线具有出色的数学能力来计算路径（从起点到目的地点的曲线）。曲线的形状由“控制点”决定。所讨论的曲线最重要的特征是平滑度。
   在许多应用和领域中，平滑度是不可或缺的。我们可以考虑机器人或其他机器的运动，其中运动必须是可预测的，以确保人员和硬件的安全（低磨损系数）。当机器人关节的轨迹被计算为平滑路径时，我们可以假设机器人将按照规划的路径平滑地移动，不会出现急动或意外移动。请注意，在我们考虑的机器人技术中，除了路径之外，还有速度、加速度、冲击力和电机扭矩。所有这些参数主要影响最终路径。
   除了机器人技术之外，贝塞尔曲线还用于动画、游戏和设计。

   为了绘图的目的，我将使用我之前的文章中讨论过的 C++ 的 matplotlib 库。
   头文件（用于绘图库）必须与您的 cpp 位于同一文件夹中。您的程序可以按如下方式编译，

​//compile
g++ my_prog.cpp -o my_prog -I/usr/include/python3.8 -lpython3.8// 
//run
./my_prog
//folder tree
├── my_prog
├── my_prog.cpp
├── matplotlibcpp.h

​

二、贝塞尔曲线特征

   可以计算点集的贝塞尔曲线： { P0, P1, P2 …Pn}，其中n定义我们建模的曲线（多项式）的阶数。在每种情况下，第一个点和最后一个点定义曲线的起点和终点的位置。其他点 - 控制点通常不属于计算的曲线，而是影响贝塞尔曲线的形状。

   2D中的每个点P都有两个{x,y}笛卡尔坐标，但在3D中，点P按预期由三个{x, y, z}定义。

   贝塞尔曲线的显式定义可以指定如下（我们将在模拟中使用这个公式）。

这里

   是二项式系数。

   在我们的例子中，二项式系数的计算如下（如果您查看维基百科，您会发现递归实现，但这是最简单的版本或更直观）。

   C++ 中的实现可以如下所示，

​double computeBinominal(int n, int k)
{double value = 1.0;for (int i = 1; i <= k; i++){value = value * ((n + 1 - i) / i);}if (n == k){value = 1;}return value;
}

​
平面空间中的四个点P 0 、P 1 、P 2 和P 3 定义三次贝塞尔曲线。该曲线可以建模为三阶多项式。

当提供六个点P 0、P 1、P 2、P 3、P4和P5时，贝塞尔曲线被计算为五阶多项式。

三、模拟

   现在我们将显示上面定义的曲线的 2D 和 3D 模拟（针对 4 点和 6 点）。下面的代码为您提供了计算和绘制您想要的任何数字点P 的贝塞尔曲线的绝佳机会。

x{2.5, 1.5, 6.0, 10.0}; 
y{0.5, 5.0, 5.0, 0.5};x{2.5, 1.5, 6.0, 10.0}; 
//与 2D y{0.5, 5.0, 5.0, 0.5}相同；
//与 2D z{1.0, 2.0, 3.0, 4.0}相同；X{2.5, 1.5, 6, 10, 7, 3}; 
Y{0.5, 5.0, 5.0, 0.5, 1.0, 2.0};X{2.5, 1.5, 6.0, 10.0, 7.0, 3.0}; // 对于 2D 
Y{0.5, 5.0, 5.0, 0.5, 1.0 , 2.0}; // 对于 2D 
Z{1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 0.1};

对于相同阶的多项式（三阶），我们可以计算 3D 贝塞尔曲线。

x{2.5, 1.5, 6.0, 10.0}; //same as 2D
y{0.5, 5.0, 5.0, 0.5}; //same as 2D
z{1.0, 2.0, 3.0, 4.0};

这是一条 2D 贝塞尔曲线，它是针对五阶多项式（六点）计算的。

X{2.5, 1.5, 6, 10, 7, 3};
Y{0.5, 5.0, 5.0, 0.5, 1.0 , 2.0};

和以前一样，我们可以绘制 3D 贝塞尔曲线。

X{2.5, 1.5, 6.0, 10.0, 7.0, 3.0}; //as for 2D
Y{0.5, 5.0, 5.0, 0.5, 1.0 , 2.0}; //as for 2D
Z{1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 0.1};

四、全部代码如下

/// g++ bezier_curve.cpp -o t -I/usr/include/python3.8 -lpython3.8#include <iostream>
#include <vector>
#include <tuple>
#include <math.h>#include "matplotlibcpp.h"namespace plt = matplotlibcpp;//-----------------------------------------------------------std::tuple<std::vector<double>, std::vector<double>> computeBesierCurve2D(std::vector<double> xX, std::vector<double> yY)
{std::vector<double> bCurveX;std::vector<double> bCurveY;double bCurveXt;double bCurveYt;for (double t = 0.01; t <= 1; t += 0.01){bCurveXt = std::pow((1 - t), 3) * xX[0] + 3 * std::pow((1 - t), 2) * t * xX[1] + 3 * std::pow((1 - t), 1) * std::pow(t, 2) * xX[2] + std::pow(t, 3) * xX[3];bCurveYt = std::pow((1 - t), 3) * yY[0] + 3 * std::pow((1 - t), 2) * t * yY[1] + 3 * std::pow((1 - t), 1) * std::pow(t, 2) * yY[2] + std::pow(t, 3) * yY[3];bCurveX.push_back(bCurveXt);bCurveY.push_back(bCurveYt);}return std::make_tuple(bCurveX, bCurveY);
}//-----------------------------------------------------------void plot2D(std::tuple<std::vector<double>, std::vector<double>> data)
{std::vector<double> xX = std::get<0>(data);std::vector<double> yY = std::get<1>(data);plt::plot(xX, yY);plt::show();
}//-----------------------------------------------------------std::tuple<std::vector<double>, std::vector<double>, std::vector<double>> computeBesierCurve3D(std::vector<double> xX, std::vector<double> yY, std::vector<double> zZ)
{std::vector<double> bCurveX;std::vector<double> bCurveY;std::vector<double> bCurveZ;double bCurveXt;double bCurveYt;double bCurveZt;for (double t = 0.01; t <= 1; t += 0.01){bCurveXt = std::pow((1 - t), 3) * xX[0] + 3 * std::pow((1 - t), 2) * t * xX[1] + 3 * std::pow((1 - t), 1) * std::pow(t, 2) * xX[2] + std::pow(t, 3) * xX[3];bCurveYt = std::pow((1 - t), 3) * yY[0] + 3 * std::pow((1 - t), 2) * t * yY[1] + 3 * std::pow((1 - t), 1) * std::pow(t, 2) * yY[2] + std::pow(t, 3) * yY[3];bCurveZt = std::pow((1 - t), 3) * yY[0] + 3 * std::pow((1 - t), 2) * t * yY[1] + 3 * std::pow((1 - t), 1) * std::pow(t, 2) * yY[2] + std::pow(t, 3) * yY[3];bCurveX.push_back(bCurveXt);bCurveY.push_back(bCurveYt);bCurveZ.push_back(bCurveZt);}return std::make_tuple(bCurveX, bCurveY, bCurveZ);
}//-----------------------------------------------------------void plot3Dexample()
{std::vector<double> xX;std::vector<double> yY;std::vector<double> zZ;double theta;double r;double z_inc = 4.0 / 99.0;double theta_inc = (8.0 * M_PI) / 99.0;for (double i = 0; i < 100; i += 1){theta = -4.0 * M_PI + theta_inc * i;zZ.push_back(-2.0 + z_inc * i);r = zZ[i] * zZ[i] + 1;xX.push_back(r * std::sin(theta));yY.push_back(r * std::cos(theta));}plt::plot3(xX, yY, zZ);plt::show();
}//-----------------------------------------------------------void plot3D(std::tuple<std::vector<double>, std::vector<double>, std::vector<double>> data)
{std::vector<double> xX = std::get<0>(data);std::vector<double> yY = std::get<1>(data);std::vector<double> zZ = std::get<2>(data);plt::plot3(xX, yY, zZ);plt::xlabel("x");plt::ylabel("y");plt::set_zlabel("z");plt::show();
}//-----------------------------------------------------------double computeBinominal(int n, int k)
{double value = 1.0;for (int i = 1; i <= k; i++){value = value * ((n + 1 - i) / i);}if (n == k){value = 1;}return value;
}//-----------------------------------------------------------std::tuple<std::vector<double>, std::vector<double>> computeNVertexBasierCurve2D(std::vector<double> xX, std::vector<double> yY)
{std::vector<double> bCurveX;std::vector<double> bCurveY;int n = xX.size() - 1;std::cout << "n :" << n << "\n";for (double t = 0.0; t <= 1.0; t += 0.01){double bCurveXt{0};double bCurveYt{0};for (int i = 0; i <= n; ++i){bCurveXt += computeBinominal(n, i) * std::pow((1 - t), (n - i)) * std::pow(t, i) * xX[i];bCurveYt += computeBinominal(n, i) * std::pow((1 - t), (n - i)) * std::pow(t, i) * yY[i];//std::cout << " t= "<< t<< " i=" << i << " bCurveXt=" << bCurveXt << " = " << computeBinominal(n, i)  << " * " << std::pow((1 - t), (n - i))  << " * " << std::pow(t, i) << " * " << xX[i] << std::endl;}bCurveX.push_back(bCurveXt);bCurveY.push_back(bCurveYt);}return std::make_tuple(bCurveX, bCurveY);
}std::tuple<std::vector<double>, std::vector<double>, std::vector<double>> computeNVertexBasierCurve3D(std::vector<double> xX, std::vector<double> yY, std::vector<double> zZ)
{std::vector<double> bCurveX;std::vector<double> bCurveY;std::vector<double> bCurveZ;int n = xX.size() - 1;std::cout << "n :" << n << "\n";for (double t = 0.0; t <= 1.0; t += 0.01){double bCurveXt{0};double bCurveYt{0};double bCurveZt{0};for (int i = 0; i <= n; ++i){bCurveXt += computeBinominal(n, i) * std::pow((1 - t), (n - i)) * std::pow(t, i) * xX[i];bCurveYt += computeBinominal(n, i) * std::pow((1 - t), (n - i)) * std::pow(t, i) * yY[i];bCurveZt += computeBinominal(n, i) * std::pow((1 - t), (n - i)) * std::pow(t, i) * zZ[i];//std::cout << " t= "<< t<< " i=" << i << " bCurveXt=" << bCurveXt << " = " << computeBinominal(n, i)  << " * " << std::pow((1 - t), (n - i))  << " * " << std::pow(t, i) << " * " << xX[i] << std::endl;}bCurveX.push_back(bCurveXt);bCurveY.push_back(bCurveYt);bCurveZ.push_back(bCurveZt);}return std::make_tuple(bCurveX, bCurveY, bCurveZ);
}//-----------------------------------------------------------int main()
{std::vector<double> xX{2.5, 1.5, 6, 10};std::vector<double> yY{0.5, 5, 5, 0.5};std::vector<double> zZ{1.0, 2.0, 3.0, 4.0};std::tuple<std::vector<double>, std::vector<double>> bCurve2D = computeBesierCurve2D(xX, yY);plot2D(bCurve2D);std::tuple<std::vector<double>, std::vector<double>, std::vector<double>> bCurve3D = computeBesierCurve3D(xX, yY, zZ);plot3D(bCurve3D);std::vector<double> xXn{2.5, 1.5, 6, 10, 7, 3};std::vector<double> yYn{0.5, 5, 5, 0.5, 1.0 , 2.0};std::vector<double> zZn{1, 2, 3, 4, 5, 0.1};std::tuple<std::vector<double>, std::vector<double>> bCurve2DxN = computeNVertexBasierCurve2D(xXn, yYn);plot2D(bCurve2DxN);std::tuple<std::vector<double>, std::vector<double>, std::vector<double>> bCurve3DxN = computeNVertexBasierCurve3D(xXn, yYn, zZn);plot3D(bCurve3DxN);}

​五、资源和下载

下面给出源代码资源下载链接地址：
https://download.csdn.net/download/gongdiwudu/88821722

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