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一、欧几里得相似度

1、欧几里得相似度

公式如下所示：

 2、自定义代码实现

import numpy as np
def EuclideanDistance(x, y):import numpy as npx = np.array(x)y = np.array(y)return np.sqrt(np.sum(np.square(x-y)))# 示例数据
# 用户1 的A B C D E商品数据 [3.3,6.5,2.8,3.4,5.5]
# 用户2 的A B C D E商品数据 [3.5,5.8,3.1,3.6,5.1]
x = np.array([3.3,6.5,2.8,3.4,5.5])
y = np.array([3.5,5.8,3.1,3.6,5.1])euclidean_distance = EuclideanDistance(x, y)
print(f"euclidean distance is: {euclidean_distance}")

二、皮尔森相关性系数

1、皮尔森相关性系数

       相关系数：考察两个事物（在数据里我们称之为变量）之间的相关程度。

公式如下所示：

       如果有两个变量：X、Y，最终计算出的相关系数的含义可以有如下理解：

(1)、当相关系数为0时，X和Y两变量无关系。

(2)、当X的值增大（减小），Y值增大（减小），两个变量为正相关，相关系数在0.00与1.00之间。

(3)、当X的值增大（减小），Y值减小（增大），两个变量为负相关，相关系数在-1.00与0.00之间。

       相关系数的绝对值越大，相关性越强，相关系数越接近于1或-1，相关度越强，相关系数越接近于0，相关度越弱。

        通常情况下通过以下取值范围判断变量的相关强度：
        相关系数     0.8-1.0     极强相关
                            0.6-0.8     强相关
                            0.4-0.6     中等程度相关
                            0.2-0.4     弱相关
                            0.0-0.2     极弱相关或无相关

 2、代码实现过程

  自定义实现过程

import numpy as npdef pearson_correlation(x, y):n = len(x)# 计算平均值x_bar = np.sum(x) / n
#     y_bar = np.sum(y) / n# 计算协方差cov_xy = np.sum((x - x_bar) * (y - y_bar))# 计算标准差std_dev_x = np.sqrt(np.sum((x - x_bar) ** 2) / (n - 1))std_dev_y = np.sqrt(np.sum((y - y_bar) ** 2) / (n - 1))# 计算皮尔逊相似系数r = cov_xy / (std_dev_x * std_dev_y)return r# 示例数据
# 用户1 的A B C D E商品数据 [3.3,6.5,2.8,3.4,5.5]
# 用户2 的A B C D E商品数据 [3.5,5.8,3.1,3.6,5.1]
x = np.array([3.3,6.5,2.8,3.4,5.5])
y = np.array([3.5,5.8,3.1,3.6,5.1])# 计算皮尔逊相似系数
pearson_coefficient = pearson_correlation(x, y)
print(f"Pearson correlation coefficient: {pearson_coefficient}")

 numpy中的corrcpef()封装实现

import numpy as np# 示例数据
# 用户1 的A B C D E商品数据 [3.3,6.5,2.8,3.4,5.5]
# 用户2 的A B C D E商品数据 [3.5,5.8,3.1,3.6,5.1]x=np.array([3.3,6.5,2.8,3.4,5.5])
y=np.array([3.5,5.8,3.1,3.6,5.1])pc=np.corrcoef(x,y)print(pc)

3、适用范围

      当两个变量的标准差都不为零时，相关系数才有定义，皮尔逊相关系数适用于：

      (1)、两个变量之间是线性关系，都是连续数据。

      (2)、两个变量的总体是正态分布，或接近正态的单峰分布。

      (3)、两个变量的观测值是成对的，每对观测值之间相互独立。

三、余弦相似度

1、余弦相似度

公式如下所示：

 2、自定义代码实现 

import numpy as np
def moreCos(a,b):sum_fenzi = 0.0sum_fenmu_1,sum_fenmu_2 = 0,0for i in range(len(a)):sum_fenzi += a[i]*b[i]sum_fenmu_1 += a[i]**2sum_fenmu_2 += b[i]**2return sum_fenzi/(np.sqrt(sum_fenmu_1) * np.sqrt(sum_fenmu_2) )# 示例数据
# 用户1 的A B C D E商品数据 [3.3,6.5,2.8,3.4,5.5]
# 用户2 的A B C D E商品数据 [3.5,5.8,3.1,3.6,5.1]
x = np.array([3.3,6.5,2.8,3.4,5.5])
y = np.array([3.5,5.8,3.1,3.6,5.1])cos = moreCos(x, y)
print(f"cos is: {cos}")

四、曼哈顿相似度

1、曼哈顿相似度

公式如下所示：

 2、自定义代码实现 

import numpy as np
def ManhattanDistance(x, y):import numpy as npx = np.array(x)y = np.array(y)return np.sum(np.abs(x-y))# 示例数据
# 用户1 的A B C D E商品数据 [3.3,6.5,2.8,3.4,5.5]
# 用户2 的A B C D E商品数据 [3.5,5.8,3.1,3.6,5.1]
x = np.array([3.3,6.5,2.8,3.4,5.5])
y = np.array([3.5,5.8,3.1,3.6,5.1])manhattan_distance = ManhattanDistance(x, y)
print(f"manhattan distance is: {manhattan_distance}")

五、切比雪夫距离

1、切比雪夫距离

公式如下所示：

       切比雪夫距离（Chebyshev Distance）的定义为：max( | x2-x1 | , |y2-y1 | , … ), 切比雪夫距离用的时候数据的维度必须是三个以上。

 2、自定义代码实现 

import numpy as np
def ChebyshevDistance(x, y):import numpy as npx = np.array(x)y = np.array(y)return np.max(np.abs(x-y))# 示例数据
# 用户1 的A B C D E商品数据 [3.3,6.5,2.8,3.4,5.5]
# 用户2 的A B C D E商品数据 [3.5,5.8,3.1,3.6,5.1]
x = np.array([3.3,6.5,2.8,3.4,5.5])
y = np.array([3.5,5.8,3.1,3.6,5.1])chebyshev_istance = ChebyshevDistance(x, y)
print(f"manhattan distance is: {chebyshev_istance}")

六、马氏距离

1、马氏距离

公式如下所示：

        M个样本向量X1~Xm，协方差矩阵记为S，均值记为向量μ，则其中样本向量X到u的马氏距离表示为

 2、自定义代码实现 

def MahalanobisDistance(x, y):'''马氏居立中的(x,y)与欧几里得距离的(x,y)不同,欧几里得距离中的(x,y)指2个样本，每个样本的维数为x或y的维数；这里的(x,y)指向量是2维的，样本个数为x或y的维数，若要计算n维变量间的马氏距离则需要改变输入的参数如(x,y,z)为3维变量。'''import numpy as npx = np.array(x)y = np.array(y)X = np.vstack([x, y])X_T = X.Tsigma = np.cov(X)sigma_inverse = np.linalg.inv(sigma)d1 = []for i in range(0, X_T.shape[0]):for j in range(i + 1, X_T.shape[0]):delta = X_T[i] - X_T[j]d = np.sqrt(np.dot(np.dot(delta, sigma_inverse), delta.T))d1.append(d)return d1# 示例数据
# 用户1 的A B C D E商品数据 [3.3,6.5,2.8,3.4,5.5]
# 用户2 的A B C D E商品数据 [3.5,5.8,3.1,3.6,5.1]
x = np.array([3.3,6.5,2.8,3.4,5.5])
y = np.array([3.5,5.8,3.1,3.6,5.1])mahalanobis_istance = MahalanobisDistance(x, y)
print(f"mahalanobis distance is: {mahalanobis_istance}")

七、闵可夫斯基距离

1、闵可夫斯基距离

公式如下所示：

当p=1时，就是曼哈顿距离

当p=2时，就是欧氏距离

当p→∞时，就是切比雪夫距离

 2、自定义代码实现 

import numpy as npdef MinkowskiDistance(x, y, p):import mathimport numpy as npzipped_coordinate = zip(x, y)return math.pow(np.sum([math.pow(np.abs(i[0] - i[1]), p) for i in zipped_coordinate]), 1 / p)# 示例数据
# 用户1 的A B C D E商品数据 [3.3,6.5,2.8,3.4,5.5]
# 用户2 的A B C D E商品数据 [3.5,5.8,3.1,3.6,5.1]
x = np.array([3.3, 6.5, 2.8, 3.4, 5.5])
y = np.array([3.5, 5.8, 3.1, 3.6, 5.1])# minkowski_istance = MinkowskiDistance(x, y,1)
# minkowski_istance = MinkowskiDistance(x, y,2)
minkowski_istance = MinkowskiDistance(x, y,3)
print(f"minkowski_ distance is: {minkowski_istance}")

八、信息熵

1、 信息熵

         衡量分布的混乱程度或分散程度的一种度量.

         熵的值就越大，样本一致性越低，越代表分之样本种类越多，越混乱，不确定性越强。

         熵的值就越小，样本一致性越高，样本越倾向于某一类。

         熵的值就为0，代表样本完全属于同一类。

公式如下所示：

 2、自定义代码实现 

import numpy as np# 示例数据data=np.array(['a','b','c','a','a','b'])data1=np.array(['中国','中国','中国','中国','中国','中国','中国','中国','人民',])#计算信息熵的方法
def calc_ent(x):"""calculate shanno ent of x"""x_value_list = set([x[i] for i in range(x.shape[0])])ent = 0.0for x_value in x_value_list:p = float(x[x == x_value].shape[0]) / x.shape[0]logp = np.log2(p)ent -= p * logpreturn entent = calc_ent(data)
ent1= calc_ent(data1)print(f"ent  is: {ent}")
print(f"ent  is: {ent1}")